Каково отношение ускорений (a1/a2), которые приобретают два сталкивающихся оловянных шарика на гладкой поверхности?

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться законом сохранения импульса и законом сохранения энергии.

Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов системы до столкновения должна быть равна сумме импульсов системы после столкновения. Поскольку никакие внешние силы не действуют на шарики, импульс системы остается постоянным.

Известно, что импульс \( p \) определяется как произведение массы на скорость: \( p = m \cdot v \), где \( m \) - масса шарика, а \( v \) - его скорость.

Масса шарика пропорциональна кубу его радиуса, поэтому мы можем записать соотношение масс шариков следующим образом:

\[ \frac{{m_1}}{{m_2}} = \left( \frac{{r_1}}{{r_2}} \right)^3 \]

где \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы первого и второго шариков соответственно, а \( r_1 \) и \( r_2 \) - их радиусы.

Мы также знаем, что ускорение шарика связано с силой, действующей на него, и массой шарика по формуле \( F = m \cdot a \), где \( F \) - сила, \( m \) - масса и \( a \) - ускорение.

Так как силы, действующие на шарики, равны по модулю, мы можем записать:

\[ F_1 = F_2 \]

\[ m_1 \cdot a_1 = m_2 \cdot a_2 \]

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из соотношения масс и уравнения силы:

\[ \frac{{m_1}}{{m_2}} = \left( \frac{{r_1}}{{r_2}} \right)^3 \]

\[ m_1 \cdot a_1 = m_2 \cdot a_2 \]

Подставим выражение для \( m_1 \) из первого уравнения во второе уравнение:

\[ \left( \frac{{r_1}}{{r_2}} \right)^3 \cdot a_1 = a_2 \]

Теперь мы можем выразить отношение ускорений \( \frac{{a_1}}{{a_2}} \):

\[ \frac{{a_1}}{{a_2}} = \left( \frac{{r_1}}{{r_2}} \right)^3 \]

Подставим значения радиусов: \( r_1 = 3 \cdot r_2 \) (согласно условию задачи).

\[ \frac{{a_1}}{{a_2}} = \left( \frac{{3 \cdot r_2}}{{r_2}} \right)^3 = 27 \]

Итак, отношение ускорений \( \frac{{a_1}}{{a_2}} \) равно 27.