Каково отношение скоростей двух космических кораблей, движущихся по орбитам на расстояниях от Земли, равных двум и трем

Чтобы решить данную задачу, нужно воспользоваться законом всемирного тяготения Ньютона и законом Кеплера о периодах движения планет.

Закон всемирного тяготения Ньютона утверждает, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Таким образом, можно записать:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила притяжения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, \(r\) - расстояние между ними.

По закону Кеплера о периодах движения планет, квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси орбиты. Формула записывается следующим образом:

\[T^2 = \frac{{4\pi^2 \cdot r^3}}{{G \cdot M}}\]

где \(T\) - период обращения планеты, \(r\) - расстояние от Земли до планеты, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли.

Поскольку речь идет о космических кораблях, можно считать, что их массы пренебрежимо малы по сравнению с массой Земли, поэтому константы \(m_1\) и \(m_2\) могут быть опущены.

Для решения задачи нам необходимо найти отношение скоростей двух космических кораблей, движущихся по орбитам на расстояниях от Земли, равных двум и трем радиусам Земли.

Подставим радиус космического корабля, движущегося на расстоянии в два радиуса Земли, в формулу для периода обращения планеты:

\[T_1^2 = \frac{{4\pi^2 \cdot (2R)^3}}{{G \cdot M}}\]

где \(T_1\) - период обращения первого корабля, \(R\) - радиус Земли.

Аналогичным образом, подставим радиус корабля, движущегося на расстоянии в три радиуса Земли, в формулу для периода обращения планеты:

\[T_2^2 = \frac{{4\pi^2 \cdot (3R)^3}}{{G \cdot M}}\]

где \(T_2\) - период обращения второго корабля.

Теперь возьмем отношение этих периодов:

\(\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{\frac{{4\pi^2 \cdot (2R)^3}}{{G \cdot M}}}}{{\frac{{4\pi^2 \cdot (3R)^3}}{{G \cdot M}}}}\)

Упрощаем выражение:

\(\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{(2R)^3}}{{(3R)^3}}\)

\(\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{8R^3}}{{27R^3}}\)

\(\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{8}}{{27}}\)

Ответ: Отношение скоростей двух космических кораблей, движущихся по орбитам на расстояниях от Земли, равных двум и трем радиусам Земли, составляет \(\frac{{8}}{{27}}\).