Каково отношение площади сектора к площади круга, если вписанный сектор имеет центральный угол 120° и касается радиусов

Чтобы вычислить отношение площади сектора к площади круга, нам нужно знать формулу для нахождения площадей этих фигур. Для начала, давайте представим себе круг с радиусом \(r\). Площадь круга обозначается символом \(S_{\text{кр}}\) и вычисляется по формуле:

\[S_{\text{кр}} = \pi r^2\]

Теперь рассмотрим сектор круга, который вписан в этот круг. Вписанный сектор - это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами. Для вычисления площади сектора нам потребуется знать центральный угол сектора и радиус круга. Площадь сектора обозначается символом \(S_{\text{сек}}\) и вычисляется по формуле:

\[S_{\text{сек}} = \frac{\text{центральный угол}}{360^\circ} \times \pi r^2\]

В нашей задаче говорится, что центральный угол сектора равен 120°, а сектор касается радиусов и дуги. Это означает, что длина дуги сектора равна длине дуги круга, а значит, у нас есть соотношение между центральным углом и радиусом:

\[\text{центральный угол} = \frac{\text{длина дуги сектора}}{r} = \frac{\text{длина дуги круга}}{r}\]

Но длина дуги круга это всего \(2\pi r\), поэтому мы можем записать:

\[\text{центральный угол} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi\]

Теперь, подставим эту информацию в формулу для площади сектора:

\[S_{\text{сек}} = \frac{2\pi}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{\pi^2 r^2}{180}\]

Таким образом, отношение площади сектора к площади круга равно:

\[\frac{S_{\text{сек}}}{S_{\text{кр}}} = \frac{\frac{\pi^2 r^2}{180}}{\pi r^2} = \frac{\pi}{180}\]

Ответ: Отношение площади сектора к площади круга равно \(\frac{\pi}{180}\).