Каково отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания, если боковая поверхность представляет

Чтобы найти отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания, нужно выразить эти площади формулами и затем провести вычисления.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:
\[S_{\text{бок.}} = \pi r l,\]
где \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - длина образующей конуса.

Площадь основания конуса вычисляется по формуле:
\[S_{\text{осн.}} = \pi r^2,\]
где \(r\) - радиус основания конуса.

Для нахождения длины образующей \(l\) нам дано, что боковая поверхность представляет собой сектор с углом в 36 градусов. Образующая - это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на окружности основания. В данном случае, образующая будет являться дугой окружности с углом в 36°.

Для нахождения длины дуги \(l\) используется следующая формула:
\[l = \dfrac{\theta}{360^\circ} \cdot 2 \pi r,\]
где \(\theta\) - угол дуги в градусах, \(r\) - радиус основания конуса.

Теперь, когда у нас есть формулы для площадей боковой поверхности и основания, а также формула для длины образующей, мы можем провести необходимые вычисления для нахождения отношения площадей.

Обозначим отношение площадей боковой поверхности к площади основания как \(K\). Тогда
\[K = \dfrac{S_{\text{бок.}}}{S_{\text{осн.}}} = \dfrac{\pi r l}{\pi r^2} = \dfrac{l}{r}.\]

Подставим значение длины образующей:
\[K = \dfrac{(\dfrac{\theta}{360^\circ} \cdot 2 \pi r)}{\pi r^2} = \dfrac{\theta}{360^\circ} \cdot \dfrac{2 \pi r}{\pi r^2} = \dfrac{\theta}{180^\circ r}.\]

Теперь мы можем вычислить значение отношения площадей, используя данное значение угла \(\theta = 36^\circ\). Предположим, что у нас есть конус с радиусом основания \(r = 5\) см:

\[K = \dfrac{36^\circ}{180^\circ \times 5 \text{ см}} = \dfrac{36}{900} = \dfrac{1}{25}.\]

Итак, в данном случае отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания равно \(\dfrac{1}{25}\), что можно записать как \(1:25\).