Каково отношение площадей треугольников ADC и DCB в прямоугольном треугольнике ABC, если AD:DC=2:7?

Чтобы найти отношение площадей треугольников ADC и DCB в прямоугольном треугольнике ABC, мы можем использовать соотношение между площадью и высотой треугольника.

Во-первых, заметим, что треугольники ADC и DCB имеют общую высоту, которая проходит через один из катетов прямоугольного треугольника ABC. Обозначим эту общую высоту как h.

Теперь, площадь треугольника можно вычислить как половину произведения его основания и высоты. Обозначим площади треугольников ADC и DCB как S1 и S2 соответственно.

Учитывая, что AD:DC=2:7, мы можем сказать, что основание треугольника ADC составляет \(\frac{2}{2+7}\) от основания треугольника ABC, а основание треугольника DCB составляет \(\frac{7}{2+7}\) от основания ABC.

Теперь мы можем выразить площадь треугольника ADC в терминах площади треугольника ABC:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2+7} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{9} \cdot h = \frac{1}{9} \cdot h\]

Аналогично, площадь треугольника DCB записывается:

\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2+7} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{9} \cdot h = \frac{7}{18} \cdot h\]

Теперь, чтобы найти отношение площадей треугольников ADC и DCB, мы делим площадь S1 на площадь S2:

\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{9} \cdot h}{\frac{7}{18} \cdot h} = \frac{2}{7}\]

Таким образом, отношение площадей треугольников ADC и DCB в прямоугольном треугольнике ABC равно 2:7.