Каково отношение периода обращения спутника, движущегося вокруг плука по низкой круговой орбите, к периоду обращения

Период обращения спутника в низкой круговой орбите, также называемый орбитальным периодом, определяется формулой:

\[T = \frac{{2\pi r}}{{v}}\]

где \(T\) - период обращения спутника, \(r\) - радиус орбиты, и \(v\) - скорость спутника.

Для спутника Земли известно, что первая космическая скорость (\(v_1\)) равна \(7.9\) километра в секунду. Поскольку первая космическая скорость для спутника плука (\(v_2\)) вдвое больше, чем для Земли (\(2v_1\)), то \(v_2 = 15.8\) километра в секунду.

Также дано, что средняя плотность плука равна средней плотности Земли. Поскольку плотность материала не влияет на период обращения спутника, то это условие нам не понадобится для решения задачи.

Обратимся к формуле для периода обращения (\(T\)) спутника, чтобы выразить его через радиус (\(r\)) и скорость (\(v\)):

\[T = \frac{{2\pi r}}{{v}}\]

Для спутника Земли:

\[T_1 = \frac{{2\pi r_1}}{{v_1}}\]

Для спутника плука:

\[T_2 = \frac{{2\pi r_2}}{{v_2}}\]

Мы хотим найти отношение \(T_2\) к \(T_1\), то есть \(\frac{{T_2}}{{T_1}}\). Заменим значения радиусов и скоростей в этих формулах:

\[\frac{{T_2}}{{T_1}} = \frac{{\frac{{2\pi r_2}}{{v_2}}}}{{\frac{{2\pi r_1}}{{v_1}}}}\]

Сократим сомножители, содержащие \(\pi\):

\[\frac{{T_2}}{{T_1}} = \frac{{r_2}}{{r_1}} \cdot \frac{{v_1}}{{v_2}}\]

Подставим значения \(v_1 = 7.9\) и \(v_2 = 15.8\) в формулу:

\[\frac{{T_2}}{{T_1}} = \frac{{r_2}}{{r_1}} \cdot \frac{{7.9}}{{15.8}}\]

Теперь осталось найти отношение радиусов спутников. Поскольку средняя плотность плука равна средней плотности Земли, мы можем сделать вывод, что их объемы (\(V\)) пропорциональны массе (\(M\)):

\[V_2 : V_1 = M_2 : M_1\]

Радиусы спутников (\(r\)) связаны с их объемами (\(V\)) следующим образом:

\[r^3 \propto V\]

Так как \(\frac{{V_2}}{{V_1}} = \frac{{M_2}}{{M_1}}\), можем записать:

\[\left( \frac{{r_2}}{{r_1}} \right)^3 = \frac{{M_2}}{{M_1}}\]

Таким образом:

\[\frac{{T_2}}{{T_1}} = \frac{{r_2}}{{r_1}} \cdot \frac{{7.9}}{{15.8}} = \sqrt[3]{\frac{{M_2}}{{M_1}}}\]

Так как задача говорит, что средняя плотность плука равна средней плотности Земли, это означает, что их отношение масс равно 1. Тогда:

\[\frac{{T_2}}{{T_1}} = \sqrt[3]{1} = 1\]

Ответ: Отношение периода обращения спутника, движущегося вокруг плука по низкой круговой орбите, к периоду обращения аналогичного спутника Земли, равно \(1\).