Каково отношение периода обращения первого спутника к периоду обращение второго на круговой орбите вокруг планеты, если

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать законы Кеплера, которые описывают движение планет и спутников вокруг других тел.

Закон Кеплера для орбитальных движений гласит: "Квадрат периода обращения планеты (или спутника) пропорционален кубу большой полуоси её орбиты".

Период обращения спутника (T) определяется временем, за которое спутник проходит один оборот вокруг планеты. Пусть период обращения второго спутника (T2) составляет T2 единиц времени.

По условию, частота обращения первого спутника (f1) в 2 раза больше, чем частота обращения второго спутника (f2). Исходя из этого, мы можем записать следующие соотношения:

f1 = 2f2 (уравнение 1)

Также, радиус орбиты первого спутника (r1) в 4 раза меньше, чем радиус орбиты второго спутника (r2). Мы можем записать это в виде:

r1 = r2/4 (уравнение 2)

Теперь мы можем использовать закон Кеплера для нахождения соотношения между периодами обращения двух спутников. Вспомним, что период обращения пропорционален кубу большой полуоси орбиты.

\[T_1 = k_1 \cdot (r_1)^{3/2}\]
\[T_2 = k_2 \cdot (r_2)^{3/2}\]

Где \(k_1\) и \(k_2\) - постоянные пропорциональности, которые можно считать равными в данном случае.

Применим уравнение 2 для выражения \(r_1\) через \(r_2\):
\[r_1 = \frac{r_2}{4}\]
Таким образом,
\[T_1 = k_1 \cdot \left(\frac{r_2}{4}\right)^{3/2}\]

Теперь рассмотрим уравнение 1 и выразим частоту через период:
\[f_1 = \frac{1}{T_1}\]
\[f_2 = \frac{1}{T_2}\]
\[f_1 = \frac{1}{k_1 \cdot \left(\frac{r_2}{4}\right)^{3/2}}\]

Мы знаем, что \(f_1 = 2 \cdot f_2\), поэтому:
\[2 \cdot f_2 = \frac{1}{k_1 \cdot \left(\frac{r_2}{4}\right)^{3/2}}\]
\[f_2 = \frac{1}{2 \cdot k_1 \cdot \left(\frac{r_2}{4}\right)^{3/2}}\]

Теперь перейдем к выражению периода \(T_2\) через \(r_2\) и \(k_2\):
\[T_2 = k_2 \cdot (r_2)^{3/2}\]

Применим формулу для частоты \(f_2\):
\[f_2 = \frac{1}{T_2}\]
\[\frac{1}{T_2} = \frac{1}{2 \cdot k_1 \cdot \left(\frac{r_2}{4}\right)^{3/2}}\]

Упростим данное уравнение:
\[\frac{1}{T_2} = \frac{2}{k_1 \cdot \left(\frac{r_2}{4}\right)^{3/2}}\]

Далее, учитывая, что \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения спутников, которые мы сравниваем, получаем следующее соотношение:
\[\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{1}{T_2}}{\frac{1}{T_2}} \cdot \frac{2}{k_1 \cdot \left(\frac{r_2}{4}\right)^{3/2}}\]

Сократим дробь \(\frac{1}{T_2}\):
\[\frac{T_1}{T_2} = 2 \cdot \frac{1}{k_1 \cdot \left(\frac{r_2}{4}\right)^{3/2}}\]

Таким образом, получаем ответ: Отношение периода обращения первого спутника к периоду обращения второго на круговой орбите вокруг планеты равно:

\[\frac{T_1}{T_2} = 2 \cdot \frac{1}{k_1 \cdot \left(\frac{r_2}{4}\right)^{3/2}}\]

Обратите внимание, что мы оставляем этот ответ в общем виде, так как не было предоставлено конкретных значений для радиусов орбит или постоянных пропорциональности. Если Вы предоставите эти значения, я смогу рассчитать точное численное отношение для Вас.