Каково отношение объема шара к объему конуса, если вконус, основание сечения которого представляет собой правильный

Каково отношение объема шара к объему конуса, если вконус, основание сечения которого представляет собой правильный треугольник со стороной а, вписан шар?
Chudesnaya_Zvezda

Chudesnaya_Zvezda

Для решения данной задачи рассмотрим объемы шара и конуса по отдельности.

Объем шара можно выразить формулой:

\[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3, \]

где \( r \) - радиус шара.

Объем конуса также можно узнать по формуле:

\[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h, \]

где \( R \) - радиус основания конуса, а \( h \) - высота конуса.

В данной задаче говорится, что в конус, основание которого представляет собой правильный треугольник со стороной \( a \), вписан шар. Когда шар вписан в конус, его радиус \( r \) будет равен радиусу окружности, вписанной в основание конуса. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной a, можно найти по формуле:

r=a23.

Таким образом, у нас есть радиус шара, вписанного в конус.

Чтобы ответить на вопрос о отношении объема шара к объему конуса, нам надо сравнить эти значения. Для этого мы можем воспользоваться формулами, описанными выше, и подставить значения радиусов используя соотношение между радиусами шара и окружности, вписанной в основание конуса.

Подставим радиус шара в формулу для объема шара:

Vшара=43π(a23)3.

Теперь вычислим эту формулу:

Vшара=43πa3833.

Simplify the expression using the fact that 833=833=1923:

Vшара=43πa31923.

Теперь подставим радиус конуса в формулу для объема конуса:

Vконуса=13π(a3)2h.

Теперь вычислим данную формулу:

Vконуса=13πa23h.

Таким образом, у нас есть две формулы для объемов шара и конуса, где a - сторона правильного треугольника, а h - высота конуса.

Теперь осталось только поделить объем шара на объем конуса, чтобы найти искомое отношение:

VшараVконуса=43πa3192313πa23h.VшараVконуса=43πa3192313πa23h.

Упрощаем эту дробь:

VшараVконуса=\cancel13π\cancel3\cancel13π643a3a2h.VшараVконуса=\cancel13π\cancel3\cancel13π643a3a2h.

VшараVконуса=643ah.VшараVконуса=643ah.

Таким образом, отношение объема шара к объему конуса, в котором вписан данный шар, равно 643ah643ah.

Надеюсь, что объяснение данной задачи было понятным и подробным. Если остались вопросы или что-то нужно пояснить, пожалуйста, дайте знать!
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello