Каково отношение конечной емкости к начальной для плоского вертикального конденсатора, закрепленного на наклонной

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения заряда вместе с условием равновесия конденсатора. Позвольте мне показать это пошагово:

1. Начнем с определения емкости конденсатора. Емкость C конденсатора определяется как отношение заряда, сохраненного на обкладках, к разности потенциалов между ними. Формула для емкости C конденсатора дана как:

\[C = \frac{Q}{V}\]

где Q - заряд, V - разность потенциалов.

2. Зная, что емкость конденсатора зависит от его геометрических параметров, мы можем использовать формулу для плоского конденсатора:

\[C = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot A}}{d}\]

где \(\varepsilon_0\) - диэлектрическая постоянная, \(\varepsilon\) - диэлектрическая проницаемость, A - площадь обкладок, d - расстояние между обкладками.

3. Для нашего плоского вертикального конденсатора, закрепленного на наклонной плоскости, нужно учесть изменение геометрии в процессе наполнения диэлектриком. Рассмотрим момент, когда диэлектрик начинает выливаться из конденсатора через край. В этот момент, высота диэлектрика равна высоте обкладок конденсатора.

4. Пусть h - высота обкладок, тогда при наполнении диэлектриком площадь обкладок A меняется следующим образом:

\[A" = A + 2 \cdot h \cdot x\]

где x - величина перекрытия обкладок диэлектриком (расстояние между верхней поверхностью диэлектрика и верхней обкладкой конденсатора).

5. Теперь мы можем выразить новую емкость C" конденсатора в терминах начальной емкости C и величин A и A":

\[C" = \frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot A"}}{d}\]

6. Для полной оценки изменения емкости введем отношение конечной емкости C" к начальной емкости C:

\[\frac{{C"}}{C} = \frac{{\frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot A"}}{d}}}{{\frac{{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot A}}{d}}} = \frac{{A"}}{A} = 1 + 2 \cdot \frac{{h \cdot x}}{A}\]

Здесь мы учли, что \(\varepsilon_0\) и \(\varepsilon\) значение констант, а d, A и h - геометрические параметры, которые остались неизменными.

7. Теперь нам нужно выразить x и h через известные величины. Из рисунка мы видим, что x = h \cdot \sin(\alpha), где альфа - угол наклона наклонной плоскости относительно горизонта.
Таким образом, мы можем исправить предыдущее уравнение:

\[\frac{{C"}}{C} = 1 + 2 \cdot \frac{{h \cdot \sin(\alpha)}}{A}\]

8. Мы знаем, что высота h обкладок равна 3 см, поскольку длина и высота обкладок составляют 3 см. Также нам дано, что расстояние между обкладками d также равно 3 см. Заменим известные значения в последнем уравнении:

\[\frac{{C"}}{C} = 1 + 2 \cdot \frac{{0.03 \cdot \sin(45^\circ)}}{0.03} = 1 + 2 \cdot \frac{{0.03 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{0.03} = 1 + \sqrt{2}\]

Таким образом, отношение конечной емкости к начальной для данного конденсатора будет равно \(1 + \sqrt{2}\).

Я надеюсь, что это пошаговое объяснение поможет вам лучше понять решение этой задачи.