Каково общее решение для дифференциального уравнения y -13y +12y =18x^2-39?

Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка. Для его решения нам понадобится найти частное решение и общее решение.

1. Найдем частное решение:
Чтобы найти частное решение, мы предполагаем, что y(x) имеет вид многочлена второй степени, т.е. y(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c - произвольные константы. Подставим это выражение в уравнение и найдем значения a, b и c.

Вычисляем первую и вторую производные y(x):
y"(x) = 2ax + b,
y""(x) = 2a.

Теперь подставим значения производных в исходное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

2a - 13(2ax + b) + 12(2a) = 18x^2 - 39.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2a - 26ax - 13b + 24a = 18x^2 - 39.

Объединим подобные слагаемые:

(2a + 24a) - 26ax - 13b = 18x^2 - 39.

Упростим полученное уравнение:

26a - 26ax - 13b = 18x^2 - 39.

Теперь сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

-26a = 18,
-13b = -39,
26a = 0.

Решим систему уравнений и найдем a и b:

-26a = 18,
-13b = -39.

Делим оба уравнения на -26 и -13 соответственно:

a = -18/26 = -9/13,
b = -39/-13 = 3.

Таким образом, частное решение имеет вид: y1(x) = (-9/13)x^2 + 3x + c.

2. Найдем общее решение:
Общее решение дифференциального уравнения будет представлять собой сумму частного решения y1(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Однородное уравнение имеет вид: y"" - 13y" + 12y = 0.

Для нахождения общего решения однородного уравнения мы предполагаем, что y(x) имеет вид y(x) = e^(rx), где r - произвольная константа и e - основание натурального логарифма.

Подставим это выражение в однородное уравнение:

(r^2 - 13r + 12)e^(rx) = 0.

Экспонента e^(rx) никогда не равна нулю, поэтому r^2 - 13r + 12 = 0.

Факторизуем полученное квадратное уравнение:

(r - 1)(r - 12) = 0.

Таким образом, получаем два значения r: r1 = 1, r2 = 12.

Итак, общее решение однородного уравнения имеет вид: y2(x) = C1e^x + C2e^(12x), где C1 и C2 - произвольные константы.

Общее решение исходного дифференциального уравнения будет суммой частного решения y1(x) и общего решения однородного уравнения y2(x):

y(x) = y1(x) + y2(x) = (-9/13)x^2 + 3x + c + C1e^x + C2e^(12x).

Таким образом, мы получили общее решение для данного дифференциального уравнения.