Каково направление и величина электрического поля в точке, если тонкая нить, имеющая форму четверти кольца радиуса

Для решения данной задачи, нам потребуется применить закон Кулона и выразить величину электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r от центра четверти кольца.

1. Для начала, давайте определим электрическую силу $dF$ между элементом длины $dl$ нити и точкой P, находящейся на расстоянии $r$ от центра четверти кольца.

Силу $dF$ можно выразить с помощью закона Кулона:
$$dF=\frac{k\cdot q\cdot dq}{r^2}$$
где:
- $k$ - постоянная электростатической силы ($k\approx 9\times {10}^9\text{Н}\cdot {\text{м}}^2/{\text{Кл}}^2$)
- $q$ - заряд элемента длины $dl$
- $dq$ - элементарный заряд
- $r$ - расстояние между элементом длины $dl$ и точкой P

2. Далее, мы должны проинтегрировать силу $dF$ по всей длине $L$ нити, чтобы получить электрическое поле $E$ в точке P.

Элементарная длина $dl$ нити будет равна $d\theta \cdot R$, где $d\theta$ - малый угол пути.

3. Подставим элементарную длину $dl$ и заряд $q$ в формулу для силы $dF$:
$$dF=\frac{k\cdot dq}{r^2}\cdot R\cdot d\theta$$

4. Следовательно, можно записать суммарное электрическое поле $E$ в точке P, полученное от всей длины нити, как:
$$E=\int dE=\int \frac{k\cdot dq}{r^2}\cdot R\cdot d\theta$$

5. Для упрощения процесса интегрирования, мы можем заменить заряд $dq$ на $Q\cdot \frac{d\theta }{2\pi }$, где $Q$ - полный заряд четверти кольца.

6. Подставим это значение заряда $dq$ в формулу для электрического поля:
$$E=\int \frac{k\cdot Q}{r^2}\cdot R\cdot \frac{d\theta }{2\pi }$$

7. Обратим внимание, что у нас остался интеграл от $d\theta$ от 0 до $\frac{\pi }{2}$, так как четверть кольца имеет угол ${90}^{\circ }$.

8. Проинтегрируем полученное выражение и выразим электрическое поле $E$:
$$E=\frac{k\cdot Q}{2\pi \cdot r^2}\cdot R\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{k\cdot Q\cdot R}{4\cdot r^2}$$

Таким образом, направление электрического поля в точке P будет направлено против часовой стрелки от центра четверти кольца, а его величина будет равна $\frac{k\cdot Q\cdot R}{4\cdot r^2}$.