Каково наименьшее основание системы счисления, которая может записывать числа: 432,768,568,243?

Для решения этой задачи нам необходимо найти наименьшее основание системы счисления, в которой можно записать все числа 432, 768, 568 и 243.

Поскольку число 432 является наибольшим числом в представленном списке, нам необходимо определить, к какому разряду это число относится в разных системах счисления. Для этого мы берем наибольшую цифру в числе (4) и умножаем ее на значение позиции этой цифры (10 в данном случае). Затем мы прибавляем следующую цифру (3) и умножаем ее на значение позиции этой цифры (1 в данном случае). Полученные значения складываем и получаем 43 в десятичной системе счисления.

Теперь мы проделываем аналогичные шаги для чисел 768, 568 и 243:

Для числа 768:
\(7 \times 100 + 6 \times 10 + 8 \times 1 = 768\) (десятичная система)

Для числа 568:
\(5 \times 100 + 6 \times 10 + 8 \times 1 = 568\) (десятичная система)

Для числа 243:
\(2 \times 100 + 4 \times 10 + 3 \times 1 = 243\) (десятичная система)

Таким образом, мы видим, что все числа (432, 768, 568 и 243) могут быть записаны с использованием цифр от 0 до 9 в десятичной системе счисления (основание 10).

Теперь нам необходимо проверить, можно ли записать все эти числа с использованием цифр от 0 до 9 в системе счисления с меньшим основанием. Начнем с наименьшего возможного основания системы счисления - 2.

В двоичной системе счисления цифры от 0 до 9 отсутствуют. Максимальная доступная цифра - 1. Поэтому нам не удастся записать числа 768 и 568 в этой системе.

Теперь рассмотрим троичную систему счисления с основанием 3. В этой системе существуют все необходимые цифры от 0 до 9. Проверим, может ли число 432 быть записано в троичной системе:

\(4 \times 3^2 + 3 \times 3^1 + 2 \times 3^0 = 39\) (троичная система)

Мы видим, что число 432 может быть записано в троичной системе счисления. Проверим, можем ли мы записать числа 768 и 568 в этой системе:

Для числа 768:
\(7 \times 3^2 + 6 \times 3^1 + 8 \times 3^0 = 73\) (троичная система)

Для числа 568:
\(5 \times 3^2 + 6 \times 3^1 + 8 \times 3^0 = 53\) (троичная система)

Оба числа (768 и 568) могут быть записаны в троичной системе счисления, поэтому наименьшее основание системы счисления, способной записывать числа 432, 768 и 568, равно 3.

Теперь проверим, может ли число 243 быть записано в системе с основанием 3:

\(2 \times 3^2 + 4 \times 3^1 + 3 \times 3^0 = 29\) (троичная система)

Мы видим, что число 243 также может быть записано в троичной системе счисления.

Таким образом, наименьшее основание системы счисления, с помощью которой можно записать числа 432, 768, 568 и 243, равно 3.