Каково наибольшее значение функции y=ln(4x)-4x+5 на интервале от 1/8 до 5/8?

Чтобы найти наибольшее значение функции \(y = \ln(4x) - 4x + 5\) на интервале от \( \frac{1}{8} \) до \( \frac{5}{8} \), нужно сначала найти критические точки функции в этом интервале, а затем проверить значения функции в этих точках и на границах интервала.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):
\[y" = \frac{d}{dx}(\ln(4x) - 4x + 5)\]

Для нахождения производной по формуле, мы применяем правило дифференцирования функций. Получившуюся производную обозначим как \(y"\).

Шаг 2: Решим уравнение \(y" = 0\) для нахождения критических точек. Реализуем:
\[0 = \frac{d}{dx}(\ln(4x) - 4x + 5)\]

Чтобы решить это уравнение наш продукт \(y"\) должен быть равен 0.

Шаг 3: Решим уравнение \(y" = 0\) относительно \(x\).
\[0 = \frac{d}{dx}(\ln(4x) - 4x + 5)\]

\[0 = \frac{1}{4x} - 4\]

Получившуюся формулу с равенством \(0\) мы получили в результате вычисления производной функции \(y\) в пункте 1 и приравнивании этой производной к нулю.

Шаг 4: Решим полученное уравнение относительно \(x\):
\[\frac{1}{4x} - 4 = 0\]

Мы получили уравнение с дробью, которую можно умножить на \(4x\) чтобы избавиться от дроби.

\[\frac{1}{4x} - 4 = 0\]
\[1 - 16x = 0\]

Шаг 5: Решим полученное уравнение относительно \(x\):
\[1 - 16x = 0\]

\[-16x = -1\]
\[x = \frac{-1}{-16}\]
\[x = \frac{1}{16}\]

Мы решили уравнение и получили значение \(x\), которое является критической точкой функции.

Шаг 6: Проверим значения \(y\) в критической точке и на границах интервала.

Подставим значение \(x = \frac{1}{16}\) в нашу функцию \(y = \ln(4x) - 4x + 5\) и вычислим значение \(y\).

\[y = \ln(4 \cdot \frac{1}{16}) - 4 \cdot \frac{1}{16} + 5\]

\[y = \ln(\frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 5\]

Затем, подставим значения \(x = \frac{1}{8}\) и \(x = \frac{5}{8}\) в нашу функцию и вычислим значения \(y\).

\[y_1 = \ln(4 \cdot \frac{1}{8}) - 4 \cdot \frac{1}{8} + 5\]
\[y_2 = \ln(4 \cdot \frac{5}{8}) - 4 \cdot \frac{5}{8} + 5\]

После выполнения этих вычислений, самое большое значение \(y\) на интервале от \( \frac{1}{8} \) до \( \frac{5}{8} \) будет самым большим из трех полученных значений \(y\).