Каково наибольшее количество сумм положительных чисел, если все сто чисел в круге записаны и найдены все сто сумм

Для решения этой задачи найдем условия, при которых сумма ста чисел окажется отрицательной.

Предположим, что первые десять чисел в круге имеют положительные значения \( a_1, a_2, ..., a_{10} \). Тогда первая сумма десяти чисел будет равна \( S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_{10} \).

Затем вторая сумма десяти чисел будет равна \( S_2 = a_2 + a_3 + ... + a_{11} \). Мы видим, что это почти такая же сумма, как первая, но сдвинутая на одно число вперед.

Аналогичным образом можно определить суммы \( S_3, S_4, ..., S_{100} \), где \( S_i \) - сумма десяти чисел, начинающихся с \( a_i \) и заканчивающихся на \( a_{i+9} \).

Сумма всех ста чисел будет равна \( S_{total} = S_1 + S_2 + ... + S_{100} \).

Теперь перейдем к доказательству. Предположим, что сумма всех ста чисел в круге окажется отрицательной. Это значит, что \( S_{total} < 0 \).

Посмотрим на первую и последнюю суммы \( S_1 \) и \( S_{100} \):
\( S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_{10} \)
\( S_{100} = a_{100} + a_1 + a_2 + ... + a_{90} \)

Обратим внимание, что первые десять чисел входят и в \( S_1 \), и в \( S_{100} \).

Теперь вычтем из \( S_{total} \) \( S_1 \) и \( S_{100} \):
\( S_{total} - (S_1 + S_{100}) = S_2 + S_3 + ... + S_{99} \)

Заметим, что в правой части уравнения суммируются все оставшиеся девяносто сумм \( S_i \).

Но так как сумма всех ста чисел отрицательна, а \( S_1 \) и \( S_{100} \) содержат одни и те же первые десять чисел, то \( (S_1 + S_{100}) \) больше нуля.

Таким образом, мы получаем:
\( S_{total} - (S_1 + S_{100}) < 0 \)
\( S_{2} + S_{3} + ... + S_{99} < 0 \)

Это означает, что среди всех оставшихся восьмидесяти сумм десяти чисел, какая-то часть будет отрицательной.

Предположим, что все восьмидесят сумм положительны. Тогда сумма всех восьмидесяти сумм также будет положительной. Но мы знаем, что сумма всех ста чисел отрицательна.

Это противоречие говорит о том, что среди восьмидесяти сумм десяти чисел должны быть и отрицательные.

Таким образом, наибольшее количество сумм положительных чисел, при которых сумма всех ста чисел окажется отрицательной, составит 79. При этом первые 10 чисел будут положительными, а оставшиеся 90 сумм будут содержать положительные и отрицательные числа.

Надеюсь, это разъясняет задачу. Если есть какие-либо неясности или дополнительные вопросы, пожалуйста, пишите!