Каково минимальное время, в течение которого человек, гуляющий в лесу, сможет вернуться домой? Он находится в 5

Чтобы найти оптимальный путь и минимальное время для возвращения домой, нам необходимо определить точку на прямой дороге, к которой человек должен двигаться, чтобы потратить минимальное время.

Пусть точка на прямой дороге, к которой человек должен двигаться, равна \(x\) км от начала дороги. Тогда расстояние, которое человек пройдет в лесу, равно \(5 - x\) км, а расстояние по дороге будет равно \(x\) км.

Чтобы найти время, затраченное на ходьбу в лесу, необходимо поделить расстояние в лесу на скорость в лесу:

\[
t_{\text{лес}} = \frac{{5 - x}}{{3}} \, \text{ч}
\]

Также, чтобы найти время, затраченное на ходьбу по дороге, нужно поделить расстояние по дороге на скорость по дороге:

\[
t_{\text{дорога}} = \frac{{x}}{{5}} \, \text{ч}
\]

Общее время возвращения домой будет равно:

\[
t_{\text{общ}} = t_{\text{лес}} + t_{\text{дорога}} = \frac{{5 - x}}{{3}} + \frac{{x}}{{5}} \, \text{ч}
\]

Теперь нам нужно найти минимальное значение \(t_{\text{общ}}\). Для этого возьмем производную от \(t_{\text{общ}}\) по \(x\) и приравняем ее к нулю:

\[
\frac{{dt_{\text{общ}}}}{{dx}} = 0
\]

\[
\frac{{d}}{{dx}} \left( \frac{{5 - x}}{{3}} + \frac{{x}}{{5}} \right) = 0
\]

\[
-\frac{{1}}{{3}} + \frac{{1}}{{5}} = 0
\]

Теперь решим полученное уравнение относительно \(x\):

\[
-\frac{{1}}{{3}} + \frac{{1}}{{5}} = 0
\]

\[
\frac{{5 - 3x}}{{15}} = 0
\]

\[
5 - 3x = 0
\]

Отсюда можно найти \(x\):

\[
3x = 5
\]

\[
x = \frac{{5}}{{3}} \approx 1.67 \, \text{км}
\]

Теперь подставим это значение \(x\) в выражение для общего времени \(t_{\text{общ}}\), чтобы найти минимальное время:

\[
t_{\text{общ}} = \frac{{5 - \frac{{5}}{{3}}}}{{3}} + \frac{{\frac{{5}}{{3}}}}{{5}} \approx 1.7 \, \text{ч}
\]

Таким образом, минимальное время, в течение которого человек сможет вернуться домой, составляет примерно 1.7 часа.