Каково минимальное число случайных прохожих, среди которых можно ожидать встретить знакомых с вероятностью 0,95?

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулой Бернулли, которая позволяет найти минимальное число экспериментов для достижения определенной вероятности успеха.

Формула Бернулли имеет вид:
\[P(X = k) = C_n^kp^k q^{(n - k)}\]

где:
- \(P(X = k)\) - вероятность достижения k успехов,
- \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k,
- \(p\) - вероятность успеха в одном эксперименте,
- \(q = 1 - p\) - вероятность неудачи в одном эксперименте.

В данной задаче вероятность успеха - это вероятность встретить знакомого, которую мы обозначим как \(p = 0,95\).
Вероятность неудачи состоит в том, что мы не встретим знакомых, то есть \(q = 1 - 0,95 = 0,05\).

Теперь нам нужно найти минимальное число случайных прохожих (обозначим его как \(n\)) для достижения вероятности встретить знакомого с вероятностью 0,95.

Мы можем переформулировать поставленную задачу следующим образом: найти наименьшее натуральное число \(n\), при котором вероятность достижения хотя бы одного успеха \(P(X \geq 1) \geq 0,95\).

Из формулы Бернулли можно получить следующее выражение для вероятности достижения хотя бы одного успеха:
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - p^0 q^n = 1 - q^n\]

Теперь нам нужно решить неравенство:
\[1 - q^n \geq 0,95\]

Для поиска решений этого неравенства мы можем воспользоваться численными методами (например, методом перебора). Однако для большей точности, мы воспользуемся методом итераций.

Подставим \(q = 0,05\) в неравенство:
\[1 - 0,05^n \geq 0,95\]

Вычтем 0,95 из обеих частей неравенства:
\[0,05^n \leq 0,05\]

Возьмем логарифм от обеих частей неравенства:
\[\log(0,05^n) \leq \log(0,05)\]

Упростим выражение:
\[n \cdot \log(0,05) \leq \log(0,05)\]

Теперь найдем значение \(n\):
\[n \geq \frac{\log(0,05)}{\log(0,05)}\]

Подсчитаем этот выражение.