Каково максимальное значение длины стороны квадрата, состоящего из 40 единичных квадратов? Сколько единичных квадратов

Чтобы решить эту задачу, мы должны разобраться, как квадрат, состоящий из 40 единичных квадратов, может быть создан. Давайте посмотрим на несколько возможных вариантов.

Вариант 1:
Если у нас есть квадрат со стороной \( 1 \), то его площадь будет равна \( 1 \) (потому что \( 1 \times 1 = 1 \)). Теперь представим себе, что мы соединяем такие квадраты вдоль стороны. Если мы соединим 4 квадрата, то получим квадрат со стороной \( 2 \) и площадью \( 4 \) (потому что \( 2 \times 2 = 4 \)). Если мы соединим 9 квадратов, то получим квадрат со стороной \( 3 \) и площадью \( 9 \) (потому что \( 3 \times 3 = 9 \)). Мы можем продолжать этот процесс, соединяя все больше квадратов, пока не достигнем целевой площади в 40. Когда-нибудь мы достигнем 40, и сторона квадрата будет представлять из себя целое число.

Теперь нам нужно найти максимальное значение стороны этого квадрата. Мы знаем, что площадь квадрата равна произведению его стороны на саму себя, то есть площадь равна квадрату стороны (площадь = сторона \(\times\) сторона). Давайте попробуем увеличить сторону квадрата постепенно и запишем площадь, чтобы найти максимальное значение стороны.

\[
\begin{align*}
\text{Сторона } 1 & : \text{ Площадь } 1 \\
\text{Сторона } 2 & : \text{ Площадь } 4 \\
\text{Сторона } 3 & : \text{ Площадь } 9 \\
\text{Сторона } 4 & : \text{ Площадь } 16 \\
\text{Сторона } 5 & : \text{ Площадь } 25 \\
\text{Сторона } 6 & : \text{ Площадь } 36 \\
\text{Сторона } 7 & : \text{ Площадь } 49 \\
\end{align*}
\]

Вы видите, что сторона 6 даёт нам максимальную площадь квадрата, равную 36. Однако, если мы возьмем сторону больше 6, то площадь уже будет больше 40. Следовательно, самая длинная сторона квадрата, состоящего из 40 единичных квадратов, будет равна 6.

Теперь нам нужно найти количество лишних единичных квадратов. Нам изначально дан квадрат, состоящий из 40 единичных квадратов. Максимальный квадрат имеет сторону 6. Значит, у нас будет квадрат со стороной 6, нарисованный из единичных квадратов.

\[
\begin{align*}
\text{Сторона } 6 & : \text{ Площадь } 36 \\
\text{Количество лишних единичных квадратов } & = 40 - 36 \\
& = 4
\end{align*}
\]

Следовательно, в нашем квадрате, состоящем из 40 единичных квадратов, будет 4 лишних единичных квадрата.

Таким образом, максимальное значение длины стороны квадрата составит 6, а количество лишних единичных квадратов будет 4.