Каково максимальное угловое расстояние между центром Сатурна и Янусом для наблюдателя на Земле в момент противостояния?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать принципы геометрии и тригонометрии. Давайте разберем это пошагово.

Шаг 1: Найдем расстояние между центром Сатурна и Янусом.
Из условия задачи известно, что Янус движется по окружности радиусом 150 тыс. км вокруг Сатурна. По определению, радиус окружности - это прямая линия, соединяющая центр окружности и любую точку, лежащую на окружности. Таким образом, радиус окружности, по которой движется Янус, равен 150 тыс. км.

Шаг 2: Переведем радиус орбиты Сатурна из а.е. в километры.
Дано, что 1 а.е. (астрономическая единица) равна 150 млн. км. Таким образом, радиус орбиты Сатурна составляет 10 * 150 млн. км = 1.5 млрд. км.

Шаг 3: Найдем максимальное угловое расстояние между Сатурном и Янусом.
Максимальное угловое расстояние между двумя точками на окружности, измеряемое в радианах, равно дуге, соединяющей эти две точки. Дуга соответствует пройденному Янусом пути вокруг Сатурна.

Чтобы найти длину этой дуги, мы можем использовать формулу длины дуги окружности:
\[Длина\_дуги = 2 \pi R \frac{\theta}{360}\]
где \(R\) - радиус окружности, а \(\theta\) - угол в градусах.

Таким образом, максимальное угловое расстояние между Сатурном и Янусом будет равно максимальной длине дуги, которую пройдет Янус вокруг Сатурна. Для этого нам нужно найти угол, на который нужно разделить окружность для получения радиуса орбиты Сатурна.

\[Длина\_дуги = 2 \pi \times 1.5 \times 10^9 \frac{\theta}{360}\]
\[2 \pi \times 1.5 \times 10^9 \frac{\theta}{360} = 150000\]
\[\theta = \frac{150000 \times 360}{2 \pi \times 1.5 \times 10^9}\]

Шаг 4: Вычислим значение угла \(\theta\).
Подставим значения в формулу и вычислим угол \(\theta\):
\[\theta = \frac{150000 \times 360}{2 \pi \times 1.5 \times 10^9} \approx 0.381\] радиан

Шаг 5: Переведем угол из радиан в градусы.
Чтобы перевести угол из радиан в градусы, мы знаем, что \(\pi\) радианов = 180 градусов. Используем пропорцию:
\[\frac{\pi\ радиан}{180\ градусов} = 0.381\ радиана\]
\[0.381\ радиана \times \frac{180\ градусов}{\pi\ радиана} \approx 21.85\ градусов\]

Таким образом, максимальное угловое расстояние между центром Сатурна и Янусом для наблюдателя на Земле в момент противостояния составляет примерно 21.85 градусов.