Каково количество упорядоченных пар натуральных чисел, сумма которых равна 240, а наибольший общий делитель этих чисел

Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Разложение числа 240 на простые множители
Начнем с разложения числа 240 на простые множители. Для этого разделим 240 на наименьший простой числитель, равный 2. Мы получим:

240 ÷ 2 = 120

Затем разделим 120 на 2:

120 ÷ 2 = 60

Продолжим этот процесс деления на простые числа до тех пор, пока не получим наибольший простой делитель. Получаем:

60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5

Итак, числа 240 можно разложить на простые множители следующим образом:

240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5

Шаг 2: Разделение простых множителей на две группы
Теперь, для нахождения упорядоченных пар натуральных чисел, сумма которых равна 240, а наибольший общий делитель равен, мы должны разделить простые множители на две группы.

Одна группа будет состоять из простых множителей, входящих в оба числа упорядоченной пары, а другая группа будет состоять из простых множителей, которые входят только в одно из чисел.

Разделим простые множители на две группы:

Группа 1: 2, 2
Группа 2: 2, 3, 5

Шаг 3: Выбор количества простых множителей в каждой группе
Теперь мы должны определить, сколько простых множителей в каждой группе мы возьмем, чтобы обеспечить наибольший общий делитель равным.

Обратите внимание, что наибольший общий делитель равен произведению простых множителей, которые входят в оба числа. В нашем случае это 2.

Поэтому количество простых множителей в группе 1 будет равно 2 (2^2), а количество простых множителей в группе 2 будет равно 1 (2^1).

Шаг 4: Нахождение количества упорядоченных пар
Теперь, зная количество простых множителей в каждой группе, мы можем найти количество упорядоченных пар.

В группе 1 у нас есть 2^2 = 4 способа выбрать простые множители. В группе 2 у нас есть 2^1 = 2 способа выбрать простые множители.

Чтобы получить общее количество упорядоченных пар, мы умножим количество способов выбрать простые множители из каждой группы:

4 × 2 = 8

Итак, количество упорядоченных пар натуральных чисел, сумма которых равна 240, а наибольший общий делитель равен, равно 8.

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как получить это количество и провести рассуждения. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.