Каково количество сторон правильного многоугольника, вписанного в окружность с радиусом 5 см? Какова длина описанной

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать некоторые свойства правильных многоугольников, которые вписаны в окружность.

1. Количество сторон правильного многоугольника можно найти по формуле: $n=\frac{360}{\theta }$, где $n$ - количество сторон, а $\theta$ - мера угла в градусах между любыми соседними сторонами многоугольника.

2. Длина окружности можно вычислить по формуле: $C=2\pi r$, где $C$ - длина окружности, $\pi$ - математическая константа, равная примерно 3.14159, а $r$ - радиус окружности.

Теперь посмотрим на задачу.

Количество сторон в правильном многоугольнике, вписанном в окружность с радиусом 5 см, можно найти, используя первую формулу. Так как все углы в правильном многоугольнике равны и сумма углов в многоугольнике равна 360 градусов, то каждый угол между соседними сторонами будет равен:
$\theta =\frac{{360}^{\circ }}{n}$.

Теперь подставим значение радиуса окружности во вторую формулу, чтобы найти длину описанной окружности. Для нашей задачи радиус равен 5 см, значит:
$$C=2\pi \cdot 5=10\pi \text{ см}.$$

Теперь давайте приступим к решению задачи.

1. Найдем количество сторон правильного многоугольника:
$\theta =\frac{{360}^{\circ }}{n}$.

$\frac{{360}^{\circ }}{\theta }=n$.

Переведем радианы в градусы:

$\theta =\frac{{360}^{\circ }}{n}=\frac{360\cdot \pi }{180\cdot n}=\frac{2\pi }{n}$.

Теперь найдем значение $\theta$ для которого выполняется равенство:

$\frac{2\pi }{n}=\theta$.

Подставим это значение $\theta$ во вторую формулу чтобы найти длину описанной окружности:

$$C=2\pi \cdot 5=10\pi \text{ см}.$$

Таким образом, количество сторон в правильном многоугольнике равно $n$ и длина описанной окружности равна $10\pi \text{ см}$.