Каково количество решений уравнения в зависимости от значения параметра a ([x] представляет собой целую часть числа

Давайте рассмотрим данное уравнение более подробно.

У нас есть уравнение \(a+\lfloor x\rfloor=\sqrt{4-x^2}\), где \(\lfloor x\rfloor\) - целая часть числа \(x\).

Для начала, давайте узнаем область возможных значений для переменной \(x\), чтобы выполнялось условие вычисления квадратного корня \(\sqrt{4-x^2}\).

Мы знаем, что выражение под знаком корня не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться неравенство \(4-x^2\geq 0\). Разрешим данное неравенство:

\[4-x^2\geq 0\]

Чтобы решить это неравенство, перенесем все члены в одну сторону:

\[x^2\leq 4\]

Теперь найдем корни данного неравенства, взяв квадратный корень обоих частей:

\[x\leq \pm 2\]

Таким образом, мы получаем, что значение \(x\) находится в диапазоне \(-2\leq x\leq 2\).

Теперь, зная область возможных значений для переменной \(x\), мы можем рассмотреть несколько случаев, в зависимости от значения параметра \(a\).

Случай 1: Если \(a\) - целое число:

Если \(a\) является целым числом, то уравнение может быть записано в следующем виде:

\[a+x=\sqrt{4-x^2}\]

Так как левая часть уравнения - целое число, а правая часть содержит корень, мы можем предположить, что решение уравнения существует только в случае, когда обе части равны друг другу.

Таким образом, у нас имеем:

\[a+x=\sqrt{4-x^2} \Rightarrow a+x = \pm \sqrt{4-x^2}\]

Рассмотрим каждый случай по отдельности:

Случай 1.1: \(a+x = \sqrt{4-x^2}\)

Для этого случая рассмотрим функцию корня \(\sqrt{4-x^2}\) и определим, при каких значениях переменной \(x\) она равна целому числу.

Мы знаем, что под корнем должно быть неотрицательное число, поэтому \(x\) должно принадлежать диапазону \(-2\leq x\leq 2\).

Мы знаем, что корень \(\sqrt{4-x^2}\) равен целому числу только при \(x = 0, x = \pm 1, x = \pm 2\).

Теперь мы можем подставить эти значения \(x\) в уравнение \(a+x = \sqrt{4-x^2}\), и определить, какие значения \(a\) удовлетворяют уравнению.

Случай 1.1.1: \(x = 0\)

Подставляем \(x = 0\) в уравнение:

\[a + 0 = \sqrt{4-0^2} \Rightarrow a = \sqrt{4} \Rightarrow a = 2\]

Таким образом, при \(a = 2\) уравнение имеет решение.

Случай 1.1.2: \(x = \pm 1\)

Подставляем \(x = \pm 1\) в уравнение:

\[a + \pm 1 = \sqrt{4-1^2} \Rightarrow a \pm 1 = \sqrt{4-1} \Rightarrow a \pm 1 = \sqrt{3}\]

Здесь у нас нет целых значений \(a\), которые удовлетворяют уравнению.

Случай 1.1.3: \(x = \pm 2\)

Подставляем \(x = \pm 2\) в уравнение:

\[a + \pm 2 = \sqrt{4-2^2} \Rightarrow a \pm 2 = \sqrt{0} \Rightarrow a \pm 2 = 0\]

Здесь у нас нет целых значений \(a\), которые удовлетворяют уравнению.

Таким образом, при \(a = 2\) уравнение имеет одно решение.

Случай 1.2: \(a+x = -\sqrt{4-x^2}\)

Для этого случая рассмотрим функцию корня \(-\sqrt{4-x^2}\) и определим, при каких значениях переменной \(x\) она равна целому числу.

Мы знаем, что корень \(-\sqrt{4-x^2}\) равен целому числу только при \(x = 0, x = \pm 1, x = \pm 2\).

Теперь мы можем подставить эти значения \(x\) в уравнение \(a+x = -\sqrt{4-x^2}\), и определить, какие значения \(a\) удовлетворяют уравнению.

Случай 1.2.1: \(x = 0\)

Подставляем \(x = 0\) в уравнение:

\[a + 0 = -\sqrt{4-0^2} \Rightarrow a = -\sqrt{4} \Rightarrow a = -2\]

Таким образом, при \(a = -2\) уравнение имеет решение.

Случай 1.2.2: \(x = \pm 1\)

Подставляем \(x = \pm 1\) в уравнение:

\[a + \pm 1 = -\sqrt{4-1^2} \Rightarrow a \pm 1 = -\sqrt{4-1} \Rightarrow a \pm 1 = -\sqrt{3}\]

Здесь у нас нет целых значений \(a\), которые удовлетворяют уравнению.

Случай 1.2.3: \(x = \pm 2\)

Подставляем \(x = \pm 2\) в уравнение:

\[a + \pm 2 = -\sqrt{4-2^2} \Rightarrow a \pm 2 = -\sqrt{0} \Rightarrow a \pm 2 = 0\]

Здесь у нас нет целых значений \(a\), которые удовлетворяют уравнению.

Таким образом, при \(a = -2\) уравнение имеет одно решение.

Таким образом, для случая 1 мы получили значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет решение: \(a = 2\) и \(a = -2\).

Случай 2: Если \(a\) - нецелое число или не определено

Если \(a\) является нецелым числом или не определено, то уравнение не имеет решения. Это связано с тем, что левая часть уравнения - целое число, а правая часть содержит корень, который не может быть равен целому числу.

В итоге, мы получаем, что количество решений уравнения зависит от значения параметра \(a\):

- Если \(a = 2\) или \(a = -2\), то уравнение имеет одно решение.
- Во всех остальных случаях уравнение не имеет решений.