Каково фокусное расстояние F зеркала, если изображение предмета в вогнутом зеркале уменьшается в 3 раза

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Мы знаем, что при определенном расположении предмета изображение в вогнутом зеркале уменьшается в 3 раза. Пусть предметное расстояние от центра зеркала до предмета равно \( p \), а фокусное расстояние зеркала равно \( F \).

Так как изображение уменьшается в 3 раза, отношение высоты предмета \( h_1 \) и высоты изображения \( h_2 \) равно \( \frac{h_2}{h_1} = -3 \).

Используя формулу зеркального фокусного уравнения \(\frac{1}{F} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\), где \( p \) - предметное расстояние, а \( q \) - изображение расстояние, найдём соотношения между \( p \) и \( F \) при уменьшении изображения в 3 раза.

Поскольку изображение уменьшается в 3 раза, отношение предметного и изображенного расстояний равно \( \frac{q}{p} = -3 \).

Подставим это значение в фокусное уравнение:

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{p} + \frac{1}{-3p}\).

Для удобства приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{p} - \frac{1}{3p}\).

Теперь объединим дроби:

\(\frac{1}{F} = \frac{3 - 1}{3p} = \frac{2}{3p}\).

Получаем такое соотношение:

\(\frac{1}{F} = \frac{2}{3p}\).

Теперь найдем отношение расстояний после того, как предмет приблизился к зеркалу на расстояние \( l \) и изображение уменьшилось в 1,5 раза.

Отношение предметного и изображенного расстояний равно \( \frac{q}{p - l} = -1.5 \).

Подставим это значение в фокусное уравнение:

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{p - l} + \frac{1}{-1.5(p - l)}\).

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{p - l} - \frac{2}{3(p - l)}\).

Теперь объединим дроби:

\(\frac{1}{F} = \frac{1 - 2}{3(p - l)} = \frac{-1}{3(p - l)}\).

Получаем такое соотношение:

\(\frac{1}{F} = \frac{-1}{3(p - l)}\).

Теперь у нас есть два уравнения:

\(\frac{1}{F} = \frac{2}{3p}\) и \(\frac{1}{F} = \frac{-1}{3(p - l)}\).

Выразим \( p \) из первого уравнения:

\(\frac{1}{F} = \frac{2}{3p} \Rightarrow p = \frac{2F}{3}\).

Теперь подставим это значение \( p \) во второе уравнение:

\(\frac{1}{F} = \frac{-1}{3\left(\frac{2F}{3} - l\right)}\).

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(\frac{1}{F} = \frac{-1}{3\left(\frac{2F - 3l}{3}\right)}\).

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

\(\frac{1}{F} = \frac{-1}{\frac{2F - 3l}{3}}\).

Упростим дробь:

\(\frac{1}{F} = \frac{-3}{2F - 3l}\).

Теперь мы имеем:

\(\frac{1}{F} = \frac{-3}{2F - 3l}\).

Умножим обе части уравнения на \(F(2F - 3l)\), чтобы избавиться от дробей:

\(1 = -3F\).

Таким образом, мы получили уравнение:

\(1 = -3F\).

Теперь решим это уравнение относительно \(F\):

\(-3F = 1\).

\(F = -\frac{1}{3}\).

Фокусное расстояние зеркала \(F\) равно -1/3.