Каково будет отношение скоростей шаров после полностью упругого столкновения, если массы шаров имеют отношение?

Для решения данной задачи нам понадобится использовать законы сохранения импульса и энергии.

Когда два шара сталкиваются, импульс замкнутой системы остается постоянным. Из этого можно сделать вывод, что сумма начальных импульсов шаров должна быть равна сумме их конечных импульсов.

Допустим, у нас есть два шара массами \(m_1\) и \(m_2\) соответственно, а их начальные скорости равны \(v_1\) и \(v_2\). После столкновения, скорости шаров изменятся до \(v_1"\) и \(v_2"\).

Из закона сохранения импульса можно записать уравнение:
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1" + m_2 \cdot v_2"\]

Также, если столкновение является полностью упругим, то можно использовать закон сохранения энергии. В данном случае, кинетическая энергия до столкновения равна кинетической энергии после столкновения:
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1"^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2"^2\]

Теперь объединим эти два уравнения и решим их относительно отношения скоростей \(v_1"\) и \(v_2"\):
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1" + m_2 \cdot v_2"\]
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1"^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2"^2\]

Теперь заменим отношение масс шаров из условия задачи через переменную \(k = \frac{m_2}{m_1}\):
\[m_1 \cdot v_1 + k \cdot m_1 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1" + k \cdot m_1 \cdot v_2"\]
\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot k \cdot m_1 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1"^2 + \frac{1}{2} \cdot k \cdot m_1 \cdot v_2"^2\]

Теперь делим оба уравнения на \(m_1\) и выражаем отношение скоростей \(v_1"\) и \(v_2"\):
\[ v_1 + k \cdot v_2 = v_1" + k \cdot v_2"\]
\[v_1^2 + k \cdot v_2^2 = v_1"^2 + k \cdot v_2"^2\]

Выразим \(v_2"\) через \(v_1"\) в первом уравнении:
\[v_1" = v_1 + k \cdot v_2 - k \cdot v_2"\]

Подставим это выражение во второе уравнение:
\[v_1^2 + k \cdot v_2^2 = (v_1 + k \cdot v_2 - k \cdot v_2")^2 + k \cdot v_2"^2\]

Теперь решим это уравнение относительно \(v_2"\). Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[v_1^2 + k \cdot v_2^2 = v_1^2 + 2 \cdot v_1 \cdot k \cdot v_2 - 2 \cdot v_1 \cdot k \cdot v_2" + k^2 \cdot v_2^2 + k \cdot v_2"^2\]

Сгруппируем слагаемые:
\[0 = (2 \cdot v_1 \cdot k \cdot v_2 - 2 \cdot v_1 \cdot k \cdot v_2") + (v_1^2 + k \cdot v_2^2 - v_1^2 - k^2 \cdot v_2^2)\]

Упростим:
\[0 = 2 \cdot v_1 \cdot k \cdot v_2 - 2 \cdot v_1 \cdot k \cdot v_2" + v_2^2 \cdot (k - k^2)\]

Теперь можно выразить \(v_2"\) через известные величины:
\[v_2" = v_2 \cdot \frac{2 \cdot v_1 \cdot k}{2 \cdot v_1 \cdot k + v_2 \cdot (k - k^2)}\]

Итак, у нас есть выражение для отношения скоростей шаров после столкновения. Вы можете подставить конкретные значения масс шаров (\(m_1\) и \(m_2\)) и начальные скорости (\(v_1\) и \(v_2\)) в это выражение, чтобы получить итоговое численное значение.