Каково активное сопротивление электрического колебательного контура, состоящего из последовательно соединенных катушки

Для начала, нам необходимо выяснить, что такое активное сопротивление \(R\) электрического контура, состоящего из последовательно соединенных элементов - катушки с индуктивностью \(L\), конденсатора и активного сопротивления.

Активное сопротивление обычно обозначается как \(R\), и оно определяет потери энергии в контуре в результате протекания тока через него. В этой задаче у нас только активные потери энергии, поэтому активное сопротивление будет одинаковым во всем контуре.

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться законом сохранения энергии электрического контура.

Первоначально полная энергия контура равна кинетической энергии накопленной энергии в конденсаторе и магнитной энергии накопленной в катушке:

\[E_0 = \frac{1}{2}CV_0^2 + \frac{1}{2}LI_0^2\]

Где \(C\) - ёмкость конденсатора, \(V_0\) - амплитуда напряжения в контуре, \(L\) - индуктивность катушки и \(I_0\) - амплитуда тока в контуре.

После времени \(t = 0,2\) мс, полная энергия контура уменьшилась в 80 раз, поэтому:

\[E = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}LI^2 = \frac{E_0}{80}\]

Нам нужно выразить амплитуду напряжения \(V\), амплитуду тока \(I\) и \(R\) через известные величины.

Используя соотношение между амплитудой напряжения и амплитудой тока в колебательном контуре:

\[V = I \cdot Z\]

Где \(Z\) - импеданс контура, который определяется как сумма реактивных сопротивлений:

\[Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\]

Где \(X_L = 2\pi fL\) - реактивное сопротивление индуктивности и \(X_C = \frac{1}{2\pi fC}\) - реактивное сопротивление конденсатора, а \(f\) - частота колебаний.

Так как у нас нет информации о частоте колебаний, мы не можем найти точное значение импеданса и \(R\). Однако, мы можем ответить на вторую часть вопроса, связанную с изменением амплитуды напряжения.

Если время уменьшается вдвое (\(t" = \frac{t}{2}\)), частота колебаний возрастает вдвое (\(f" = \frac{1}{t"}\)).

Используя формулу для импеданса контура и формулу для амплитуды напряжения, мы можем найти соотношение между амплитудами при разных временах:

\[\frac{V"}{V} = \frac{Z}{Z"} = \frac{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}{\sqrt{R^2 + (X"_L - X"_C)^2}}\]

Учитывая то, что \(X"_L = 2\pi f"L\), \(X"_C = \frac{1}{2\pi f"C}\) и \(f" = 2f\), мы можем переписать это соотношение следующим образом:

\[\frac{V"}{V} = \frac{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}{\sqrt{R^2 + (2X_L - \frac{1}{2}X_C)^2}}\]

Таким образом, амплитуда напряжения изменится в зависимости от значений \(R\), \(X_L\) и \(X_C\). Для полного решения этой задачи необходимо знать значения \(R\), \(X_L\) и \(X_C\) или как-то их определить.