Какова жесткость пружины, если половина однородного пробкового шара (с плотностью 200 кг/м^3) объемом 10 дм^3 погружена

Для решения этой задачи нам понадобится использовать законы Архимеда и Гука.

1. Полная сила Архимеда, действующая на погруженное тело, равна весу вытесненной им жидкости. В нашем случае, половина шара погружена в воду, поэтому мы можем определить силу Архимеда следующим образом:

\[F_A = \rho_{воды} \cdot V_{вытесненной} \cdot g\]

где \(\rho_{воды}\) - плотность воды (1000 кг/м^3), \(V_{вытесненной}\) - объем вытесненной воды, \(g\) - ускорение свободного падения (9.8 м/с^2).

2. Вес половины шара можно определить как произведение его массы на ускорение свободного падения:

\[F_веса = m_{шара} \cdot g\]

где \(m_{шара}\) - масса половины шара.

3. Для пружины, закон Гука гласит, что сила упругости (сила, с которой пружина действует на тело) пропорциональна удлинению или сжатию пружины:

\[F_{упругости} = k \cdot \Delta L\]

где \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(\Delta L\) - разность в длине пружины до и после ее растяжения или сжатия.

4. В нашем случае, пружина растянута на некоторую длину \(\Delta L\), чтобы удерживать половину шара под водой. Сила упругости должна быть равна весу половины шара, поэтому:

\[F_{упругости} = F_веса\]

5. Подставим значения из шага 2 в уравнение из шага 4:

\[k \cdot \Delta L = m_{шара} \cdot g\]

6. Теперь нам нужно найти массу половины шара. Массу можно определить, умножив плотность тела на его объем:

\[m_{шара} = \rho_{шара} \cdot V_{шара}\]

где \(\rho_{шара}\) - плотность пробки (200 кг/м^3), \(V_{шара}\) - объем половины шара (10 дм^3 или 0.01 м^3).

7. Подставим значение массы из шага 6 в уравнение шага 5:

\[k \cdot \Delta L = (\rho_{шара} \cdot V_{шара}) \cdot g\]

8. Для определения жесткости пружины, нужно выразить \(\Delta L\) через известные значения. Разность в длине пружины связана с объемом вытесненной воды следующим образом:

\(\Delta L = \frac{V_{вытесненной}}{S_{поверхности}}\)

где \(S_{поверхности}\) - площадь поверхности половины шара, погруженной в воду.

9. Площадь поверхности половины шара можно определить следующим образом:

\(S_{поверхности} = 2 \cdot \pi \cdot r_{шара}^2\)

где \(r_{шара}\) - радиус шара.

10. Подставим значение \(\Delta L\) из шага 8 и \(S_{поверхности}\) из шага 9 в уравнение из шага 7:

\[k \cdot \frac{V_{вытесненной}}{S_{поверхности}} = (\rho_{шара} \cdot V_{шара}) \cdot g\]

11. Теперь выразим жесткость пружины \(k\), деля оба выражения на \(\frac{V_{вытесненной}}{S_{поверхности}}\):

\[k = \frac{(\rho_{шара} \cdot V_{шара}) \cdot g}{\frac{V_{вытесненной}}{S_{поверхности}}}\]

12. Вставим значения из условия задачи и вычислим жесткость пружины:

\[
\begin{align*}
k &= \frac{(200 \, \text{кг/м}^3 \cdot 0.01 \, \text{м}^3) \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2}{\frac{V_{вытесненной}}{S_{поверхности}}} \\
&= \frac{196 \, \text{Н}}{\frac{V_{вытесненной}}{S_{поверхности}}}
\end{align*}
\]

Окончательный ответ на задачу можно получить, если известны значения \(V_{вытесненной}\) и \(S_{поверхности}\). Если эти значения даны в условии задачи, подставьте их и вычислите жесткость пружины \(k\) по формуле, указанной выше.

Я надеюсь, что этот пошаговый алгоритм поможет вам решить данную задачу о жесткости пружины. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!