Какова жёсткость пружины, если она удлинилась на 8 см и удерживает неподвижное бревно массой 60 кг на наклонной

Чтобы найти жесткость пружины, нам понадобятся законы Гука и равновесия. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Рисунок

Для начала, нарисуем схему данной задачи.

\[insert image\]

Шаг 2: Известные данные

У нас есть следующие данные:
- Масса бревна (m) = 60 кг
- Удлинение пружины (ΔL) = 8 см = 0.08 м
- Угол наклона плоскости (θ) = 60 градусов

Шаг 3: Разложение сил

На бревно действуют две силы: сила тяжести и сила упругости пружины.

Сила тяжести (Fg) равна массе бревна, умноженной на ускорение свободного падения (g):

\[Fg = m \cdot g\]

Сила упругости пружины (Fe) определяется законом Гука:

\[Fe = k \cdot \Delta L\]

где k - жесткость пружины (то, что мы и хотим найти), а ΔL - удлинение пружины.

Шаг 4: Разложение сил по осям

Проектируем силы на оси, параллельные и перпендикулярные наклонной плоскости.

\[insert image\]

1) Разложим силу тяжести (Fg) на оси:
- Fg_параллельная = Fg \cdot \sin(\theta)
- Fg_перпендикулярная = Fg \cdot \cos(\theta)

2) Разложим силу упругости пружины (Fe) на оси:
- Fe_параллельная = -Fe \cdot \sin(\theta)
- Fe_перпендикулярная = -Fe \cdot \cos(\theta)

Обратите внимание, что силы упругости направлены в противоположную сторону силе тяжести.

Шаг 5: Закон равновесия

Так как бревно находится в равновесии, сумма проекций сил на каждую ось должна быть равна нулю.

Суммируем силы на параллельной оси:
\[0 = Fg_параллельная + Fe_параллельная\]

Суммируем силы на перпендикулярной оси:
\[0 = Fg_перпендикулярная + Fe_перпендикулярная\]

Шаг 6: Подставляем известные значения

Подставим известные значения в полученные уравнения и найдем жесткость пружины (k).

Для упрощения расчетов заменим синус и косинус угла наклона:

\[\sin(\theta) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}, \quad \cos(\theta) = \frac{1}{2}\]

Суммируем силы на параллельной оси:
\[0 = m \cdot g \cdot \sin(\theta) + k \cdot \Delta L \cdot \sin(\theta)\]

Суммируем силы на перпендикулярной оси:
\[0 = m \cdot g \cdot \cos(\theta) + k \cdot \Delta L \cdot \cos(\theta)\]

Шаг 7: Решаем уравнения

Теперь можно найти жесткость пружины (k). Для этого мы можем использовать любое из двух уравнений.

Выберем первое уравнение:

\[0 = m \cdot g \cdot \sin(\theta) + k \cdot \Delta L \cdot \sin(\theta)\]

Теперь подставим известные значения:
\[0 = 60 \cdot 9.8 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} + k \cdot 0.08 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}\]

\[0 = 294 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} + 0.04 \cdot k \cdot \sqrt{3}\]

\[0 = 147 \cdot \sqrt{3} + 0.04 \cdot k \cdot \sqrt{3}\]

\[k \cdot 0.04 \cdot \sqrt{3} = - 147 \cdot \sqrt{3}\]

\[k = \frac{{- 147 \cdot \sqrt{3}}}{{0.04 \cdot \sqrt{3}}}\]

\[k \approx - 3675\]

Шаг 8: Ответ

Так как жесткость пружины не может быть отрицательной, ответ будет следующим:

Жесткость пружины (k) ≈ 3675

Надеюсь, данный пошаговый ответ помог Вам разобраться в решении задачи! Если у Вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!