Какова жесткость пружины, если масса однородного шара составляет 80 г, его объем равен 10 см³ и он полностью погружен

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать закон Гука, который описывает зависимость между силой, действующей на пружину, и ее деформацией. Формула для закона Гука имеет вид:

\[F = k \cdot x\]

где \(F\) - сила, действующая на пружину, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - деформация пружины.

Также, известно, что энергия деформации пружины может быть вычислена с помощью следующей формулы:

\[E = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2\]

где \(E\) - энергия деформации пружины.

Мы можем переписать эту формулу в виде:

\[k = \frac{2 \cdot E}{x^2}\]

Для решения задачи, нам нужно выразить деформацию пружины и вычислить жесткость пружины.

Для начала, найдем массу жидкости, которую вытесняет шар. Масса жидкости равна ее плотности, умноженной на ее объем:

\[m_{\text{жидкости}} = \rho \cdot V\]

где \(\rho\) - плотность жидкости, \(V\) - объем шара.

Подставим известные значения:

\[m_{\text{жидкости}} = 1 \, \text{г/см}^3 \cdot 10 \, \text{см}^3 = 10 \, \text{г}\]

Чтобы найти деформацию пружины, воспользуемся законом Архимеда. Сила Архимеда, действующая на шар, равна силе тяжести погруженной в жидкость массы:

\[F_{\text{Архимеда}} = m_{\text{жидкости}} \cdot g\]

где \(g\) - ускорение свободного падения.

Подставим известные значения:

\[F_{\text{Архимеда}} = 10 \, \text{г} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 = 100 \, \text{дин}\]

Теперь у нас есть сила, действующая на пружину, которую мы можем использовать в формуле для закона Гука:

\[F = k \cdot x\]

Мы знаем, что сила равна 40 МДж, что составляет 40 млн. дж. Переведем это значение в динах, используя соотношение 1 Н = 10^5 дин:

\[40 \, \text{МДж} = 40 \times 10^6 \times 10^5 \, \text{дин} = 4 \times 10^{12} \, \text{дин}\]

Теперь мы можем найти деформацию пружины, поделив силу на жесткость пружины:

\[x = \frac{F}{k}\]

А далее выразить коэффициент жесткости пружины:

\[k = \frac{2 \cdot E}{x^2}\]

Нам необходимо найти жесткость пружины \(k\) в Н/м, поэтому наш ответ должен быть в таких единицах.

Давайте подставим все известные значения в формулу и вычислим жесткость пружины:

\[x = \frac{4 \times 10^{12} \, \text{дин}}{k}\]

\[k = \frac{2 \cdot 40 \times 10^{12} \, \text{дин}}{x^2}\]

Теперь необходимо найти значение \(x\).

\[x = \frac{F_{\text{Архимеда}}}{k}\]

\[x = \frac{100 \, \text{дин}}{k}\]

Продолжим подставлять значения:

\[k = \frac{2 \cdot 40 \times 10^{12} \, \text{дин}}{\left(\frac{100 \, \text{дин}}{k}\right)^2}\]

Упростим это выражение:

\[k = \frac{2 \cdot 40 \times 10^{12} \, \text{дин}}{\frac{100^2 \, \text{дин}^2}{k^2}}\]

\[k = \frac{2 \cdot 40 \times 10^{12} \, \text{дин} \cdot k^2}{100^2 \, \text{дин}^2}\]

\[k = \frac{80000 \times 10^{12} \, \text{дин} \cdot k^2}{100^2 \, \text{дин}^2}\]

Переместим все значения силах влево и квадрат жесткости пружины вправо:

\[k^2 = \frac{80000 \times 10^{12} \, \text{дин}}{100^2 \, \text{дин}^2} = \frac{80000 \times 10^{12}}{100^2} \, \text{Н/м}\]

Используя квадратный корень, найдем значение жесткости пружины \(k\):

\[k = \sqrt{\frac{80000 \times 10^{12}}{100^2}} \, \text{Н/м}\]

Подсчитаем это:

\[k = \sqrt{\frac{8 \times 10^{11}}{100}} \, \text{Н/м}\]

\[k = \sqrt{8 \times 10^9} \, \text{Н/м}\]

\[k = 2 \times 10^4 \, \text{Н/м}\]

Таким образом, жесткость пружины \(k\) равна \(2 \times 10^4 \, \text{Н/м}\).