Какова высота усеченного конуса, если у него радиусы оснований составляют 5 см и 8 см, а длина образующей равна

Для решения этой задачи нам потребуется использовать некоторые основные свойства усеченного конуса. Давайте начнем с того, что усеченный конус - это трехмерное тело, у которого верхнее основание меньше нижнего, и боковая поверхность формируется пологой линией, которая называется образующей.

Перед тем, как приступить к решению задачи, давайте обозначим некоторые величины. Пусть \(R_1\) - радиус нижнего основания, \(R_2\) - радиус верхнего основания, \(L\) - длина образующей, а \(h\) - искомая высота усеченного конуса.

В нашей задаче значения \(R_1\) и \(R_2\) уже заданы: \(R_1 = 8\) см и \(R_2 = 5\) см. Также нам известно, что \(L = 12\) см.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения высоты усеченного конуса. При смотрении на сечение конуса, окажется, что мы имеем прямоугольный треугольник с катетами \(h\) и разностью радиусов оснований \(R_1 - R_2\). Гипотенузой этого треугольника является образующая \(L\).

Применим теорему Пифагора:

\[L^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2\]

Подставим известные значения:

\[12^2 = h^2 + (8 - 5)^2\]

Выполним вычисления:

\[144 = h^2 + 9\]

Вычтем 9 из обеих сторон уравнения:

\[h^2 = 144 - 9 = 135\]

Извлекаем квадратный корень для нахождения \(h\):

\[h = \sqrt{135}\]

Поскольку требуется максимально подробный ответ, давайте упростим этот корень:

\[h = \sqrt{9 \cdot 15}\]

Разложим 9 на простые множители:

\[h = \sqrt{3^2 \cdot 5}\]

Сократим 3 внутри квадратного корня:

\[h = 3\sqrt{5}\]

Итак, высота усеченного конуса составляет \(3\sqrt{5}\) см.