Какова высота у усеченного конуса, у которого образующая равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°?

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые геометрические знания о конусах.

Усеченный конус - это конус, у которого вершина и основание различного размера, а образующая - это прямая линия, соединяющая вершину и центр основания. В нашей задаче, длина образующей дана как 2 см.

Наклонение образующей - это угол между образующей и плоскостью основания. В данной задаче, наклонение образующей равно 30°.

Мы хотим вычислить высоту усеченного конуса. Для этого, нам понадобятся три важные формулы и геометрические соотношения:

1. Высота конуса:
Обозначим высоту конуса как \(h\). В нашем случае, нам нужно найти \(h\).

2. Радиусы оснований:
Обозначим радиусы оснований конуса как \(r_1\) и \(r_2\). В задаче нам заданы только угол наклона, поэтому нам нужно найти радиусы оснований.

3. Теорема синусов:
В прямоугольном треугольнике, где прямой угол равен 90°, образующая является гипотенузой, а высота - это противоположный катет. Можем использовать теорему синусов для выражения этого соотношения:
\(\frac{{h}}{{\sin(90°)}} = \frac{{2}}{{\sin(30°)}}\).

Теперь, приступим к решению задачи:

Шаг 1: Найдем результирующий угол.
Поскольку образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°, можем найти величину угла между образующей и вертикальной осью, вычтя 30° из 90°:
Угол между образующей и вертикальной осью: \(90° - 30° = 60°\).

Шаг 2: Найдем радиус основания.
Используем теорему синусов, чтобы найти радиус основания. По теореме синусов:
\(\frac{{h}}{{\sin(90°)}} = \frac{{2}}{{\sin(30°)}}\).
Заменим значения синусов и найдем \(h\):
\(\frac{{h}}{{1}} = \frac{{2}}{{\frac{{1}}{{2}}}}\).
\(\frac{{h}}{{1}} = 2 \times 2\).
\(h = 4\).

Ответ: Таким образом, высота усеченного конуса равна 4 см.