Какова высота треугольной пирамиды, у которой основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой l и боковыми

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и треугольных пирамид.

Из условия задачи мы знаем, что в основании пирамиды находится прямоугольный треугольник. Поэтому давайте обозначим стороны этого треугольника:

Пусть $a$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника, а $l$ - гипотенуза.

Также нам дано, что боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Поэтому эти боковые ребра являются высотами боковых граней трапеции.

Таким образом, наша задача состоит в вычислении высоты треугольной пирамиды, а именно высоты боковой грани трапеции.

Для начала, посмотрим на прямоугольный треугольник, который является основанием пирамиды. Используя теорему Пифагора, получаем:

$$a^2+b^2=l^2$$

Теперь давайте рассмотрим половину этого прямоугольного треугольника. Поскольку грань треугольной пирамиды является прямоугольным треугольником с высотой, мы можем записать следующее соотношение:

$$\frac{a\cdot b}{2}=\frac{l\cdot h}{2}$$

где $h$ - высота боковой грани трапеции.

Используя треугольник с наклонной стороной основания, мы можем записать:

$$h=l\sin (60°)$$

Здесь мы используем определение синуса угла как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Таким образом, мы получаем:

$$\frac{a\cdot b}{2}=\frac{l\cdot h}{2}=\frac{l\cdot l\sin (60°)}{2}$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $l$. Раскроем синус 60°, который равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, и сократим некоторые коэффициенты:

$$\frac{a\cdot b}{2}=\frac{l^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$$
$$a\cdot b=\frac{l^2\cdot \sqrt{3}}{4}$$
$$4\cdot a\cdot b=l^2\cdot \sqrt{3}$$
$$l^2=\frac{4\cdot a\cdot b}{\sqrt{3}}$$
$$l=\sqrt{\frac{4\cdot a\cdot b}{\sqrt{3}}}$$

Таким образом, получаем выражение для высоты треугольной пирамиды $l$ в зависимости от катетов прямоугольного треугольника $a$ и $b$:

$$l=\sqrt{\frac{4\cdot a\cdot b}{\sqrt{3}}}$$

Это и есть ответ на задачу. Высота треугольной пирамиды равна $\sqrt{\frac{4\cdot a\cdot b}{\sqrt{3}}}$ или можно рассчитать численное значение, подставив известные значения $a$, $b$, $l$.