Какова высота, с которой груз падает, если срывается с верёвки и свободно падает? Во время падения на второй половине

Чтобы определить высоту, с которой груз падает, когда он срывается с веревки и свободно падает, мы можем использовать законы равномерного движения.

Первоначально, давайте определим несколько параметров задачи. Пусть \(h\) будет искомой высотой падения груза, а \(t_1\) и \(t_2\) - время, за которое груз проходит первую и вторую половину пути соответственно. Скорость, с которой груз падает, будем обозначать как \(v\).

Так как мы имеем дело с свободным падением, ускорение \(a\) будет равно ускорению свободного падения, что равно приблизительно \(9.8 \, \text{м/с}^2\) на Земле.

За время \(t_1\) груз проходит половину пути, поэтому расстояние, которое он пройдет за это время, будет равно \(s_1 = \frac{1}{2} h\). Используя первое уравнение равномерного движения \(s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\), где \(s\) - пройденное расстояние, \(v_0\) - начальная скорость, \(t\) - время, мы можем выразить время, зная начальную скорость и пройденное расстояние:

\[t_1 = \sqrt{\frac{2s_1}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{1}{2} h}{9.8}} = \sqrt{\frac{h}{9.8}}\]

Теперь рассмотрим вторую половину пути. За время \(t_2\) груз также пройдет расстояние \(s_2\), которое равно пройденной первой половине пути. Следовательно, \(s_2 = s_1 = \frac{1}{2} h\). Так как груз движется со средней скоростью на второй половине пути, скорость будет равна половине максимальной скорости \(v\). То есть, \(v_{\text{сред}} = \frac{1}{2} v\).

Используем второе уравнение равномерного движения \(v = v_0 + at\), чтобы найти время \(t_2\):

\[\frac{1}{2} v = v_0 + at_2\]

Так как начальная скорость \(v_0\) равна нулю (так как груз срывается с веревки без начальной скорости), уравнение примет вид:

\[\frac{1}{2} v = at_2\]

Подставляя выражение для ускорения и заменяя \(a\) на \(9.8\), получим:

\[\frac{1}{2} v = 9.8t_2\]

Теперь мы можем выразить время \(t_2\):

\[t_2 = \frac{\frac{1}{2} v}{9.8} = \frac{v}{19.6}\]

Последний шаг - выразить \(h\) через известные параметры. Так как скорость груза при падении с высоты \(h\) равна максимальной скорости \(v\), мы можем использовать третье уравнение равномерного движения \(v^2 = v_0^2 + 2as\) и заменить ускорение и пройденное расстояние:

\[v^2 = 0 + 2 \cdot 9.8 \cdot h = 19.6h\]

Выражая \(h\) через \(v\), получим:

\[h = \frac{v^2}{19.6}\]

Теперь мы можем выразить \(h\) через \(t_2\):

\[h = \frac{(19.6t_2)^2}{19.6} = 19.6t_2^2 = 19.6\left(\frac{v}{19.6}\right)^2 = v^2\]

Таким образом, высота, с которой груз падает, равна квадрату скорости груза при свободном падении.