Какова высота, с которой груз падает, если срывается с верёвки и свободно падает? Во время падения на второй половине

Чтобы определить высоту, с которой груз падает, когда он срывается с веревки и свободно падает, мы можем использовать законы равномерного движения.

Первоначально, давайте определим несколько параметров задачи. Пусть $h$ будет искомой высотой падения груза, а $t_1$ и $t_2$ - время, за которое груз проходит первую и вторую половину пути соответственно. Скорость, с которой груз падает, будем обозначать как $v$.

Так как мы имеем дело с свободным падением, ускорение $a$ будет равно ускорению свободного падения, что равно приблизительно $9.8{\text{м/с}}^2$ на Земле.

За время $t_1$ груз проходит половину пути, поэтому расстояние, которое он пройдет за это время, будет равно $s_1=\frac{1}{2}h$. Используя первое уравнение равномерного движения $s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$, где $s$ - пройденное расстояние, $v_0$ - начальная скорость, $t$ - время, мы можем выразить время, зная начальную скорость и пройденное расстояние:

$$t_1=\sqrt{\frac{2s_1}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot \frac{1}{2}h}{9.8}}=\sqrt{\frac{h}{9.8}}$$

Теперь рассмотрим вторую половину пути. За время $t_2$ груз также пройдет расстояние $s_2$, которое равно пройденной первой половине пути. Следовательно, $s_2=s_1=\frac{1}{2}h$. Так как груз движется со средней скоростью на второй половине пути, скорость будет равна половине максимальной скорости $v$. То есть, $v_{\text{сред}}=\frac{1}{2}v$.

Используем второе уравнение равномерного движения $v=v_0+at$, чтобы найти время $t_2$:

$$\frac{1}{2}v=v_0+a{t}_2$$

Так как начальная скорость $v_0$ равна нулю (так как груз срывается с веревки без начальной скорости), уравнение примет вид:

$$\frac{1}{2}v=a{t}_2$$

Подставляя выражение для ускорения и заменяя $a$ на $9.8$, получим:

$$\frac{1}{2}v=9.8t_2$$

Теперь мы можем выразить время $t_2$:

$$t_2=\frac{\frac{1}{2}v}{9.8}=\frac{v}{19.6}$$

Последний шаг - выразить $h$ через известные параметры. Так как скорость груза при падении с высоты $h$ равна максимальной скорости $v$, мы можем использовать третье уравнение равномерного движения $v^2=v_0^2+2as$ и заменить ускорение и пройденное расстояние:

$$v^2=0+2\cdot 9.8\cdot h=19.6h$$

Выражая $h$ через $v$, получим:

$$h=\frac{v^2}{19.6}$$

Теперь мы можем выразить $h$ через $t_2$:

$$h=\frac{(19.6t_2{)}^2}{19.6}=19.6t_2^2=19.6{\left(\frac{v}{19.6}\right)}^2=v^2$$

Таким образом, высота, с которой груз падает, равна квадрату скорости груза при свободном падении.