Какова высота прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны 2√3 и 4, а диагональ параллелепипеда

Чтобы решить задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем высоту боковой грани параллелепипеда. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением. У нас есть угол в 30 градусов и диагональ параллелепипеда, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника. Предположим, что боковая грань параллелепипеда длиной b. Тогда мы можем записать следующее соотношение:

\(\sin(30) = \frac{b}{\text{диагональ параллелепипеда}}\)

Шаг 2: Найдем диагональ параллелепипеда. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 2√3 и 4. Используя формулу \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), где a и b - длины катетов, мы можем вычислить значение диагонали параллелепипеда.

Шаг 3: Зная диагональ параллелепипеда и высоту боковой грани, мы можем использовать теорему Пифагора снова, чтобы найти высоту параллелепипеда. Теперь катетами будут высота боковой грани и высота всего параллелепипеда, а гипотенузой - диагональ параллелепипеда.

Давайте приступим к решению.

Шаг 1: Найдем высоту боковой грани.

\(\sin(30) = \frac{b}{\text{диагональ параллелепипеда}}\)

Так как \(\sin(30) = \frac{1}{2}\), то

\(\frac{1}{2} = \frac{b}{\text{диагональ параллелепипеда}}\)

Шаг 2: Найдем диагональ параллелепипеда.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 2√3 и 4.

\(\text{диагональ параллелепипеда} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{4 \cdot 3 + 16} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\)

Шаг 3: Найдем высоту параллелепипеда.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами \(b\) и высотой параллелепипеда \(h\), и гипотенузой длиной \(2\sqrt{7}\).

\(h = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 - b^2}\)

Так как \(b = 2\), то

\(h = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 - 2^2} = \sqrt{28 - 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)

Итак, высота прямоугольного параллелепипеда равна \(2\sqrt{6}\) единицы длины.