Какова высота, проведенная к одной из сторон параллелограмма, если ее площадь равна 108 квадратным сантиметрам

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства параллелограмма и формулы площади и периметра.

Пусть высота, проведенная к одной из сторон параллелограмма, равна $h$, сторона, к которой проведена данная высота, равна $a$, и вторая сторона параллелограмма равна $b$.

Известно, что площадь параллелограмма равна 108 квадратным сантиметрам:
$$S=108{\text{см}}^2$$

Также известно, что периметр параллелограмма равен 52 сантиметрам:
$$P=52\text{см}$$

Найдем высоту параллелограмма. Площадь параллелограмма можно выразить через одну из его сторон $a$ и проведенную к ней высоту $h$ следующим образом:
$$S=a\cdot h$$

Подставляем известные значения и находим высоту:
$$108=a\cdot h$$

Теперь найдем сторону, к которой проведена данная высота $a$. По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны, поэтому $a=b$.

Также, по свойству периметра параллелограмма, сумма длин двух соседних сторон равна половине периметра:
$$a+b=\frac{P}{2}$$

Подставляем известное значение периметра и получаем:
$$a+b=\frac{52}{2}=26$$

Таким образом, мы получили систему уравнений:
$$\{\begin{array}{l}108=a\cdot h\\ a+b=26\end{array}$$

Решим данную систему методом подстановки.

Исходя из уравнения $a\cdot h=108$, представим это выражение в виде $h=\frac{108}{a}$. Подставим данное выражение во второе уравнение:
$$a+b=26\Rightarrow a+\frac{108}{a}=26$$

Умножим обе части уравнения на $a$:
$$a^2+108=26a$$

Приведем уравнение к квадратному виду:
$$a^2-26a+108=0$$

Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$$D=(-26{)}^2-4\cdot 1\cdot 108=676-432=244$$

Уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:
$$a_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Вычисляем корни:
$$a_1=\frac{-(-26)+\sqrt{244}}{2\cdot 1},a_2=\frac{-(-26)-\sqrt{244}}{2\cdot 1}$$

$$a_1=\frac{26+\sqrt{244}}{2},a_2=\frac{26-\sqrt{244}}{2}$$

$$a_1=18,a_2=8$$

Найденные значения сторон $a_1$ и $a_2$ соответствуют длинам сторон параллелограмма, поэтому $a=18$ сантиметров и $b=8$ сантиметров.

Таким образом, ответ на задачу:
- Высота, проведенная к одной из сторон параллелограмма, равна 18 сантиметрам.
- Сторона, к которой проведена данная высота, также равна 18 сантиметрам.
- Вторая сторона параллелограмма равна 8 сантиметрам.