Какова высота, проведенная к одной из сторон параллелограмма, если ее площадь равна 108 квадратным сантиметрам

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства параллелограмма и формулы площади и периметра.

Пусть высота, проведенная к одной из сторон параллелограмма, равна \(h\), сторона, к которой проведена данная высота, равна \(a\), и вторая сторона параллелограмма равна \(b\).

Известно, что площадь параллелограмма равна 108 квадратным сантиметрам:
\[S = 108 \, \text{см}^2\]

Также известно, что периметр параллелограмма равен 52 сантиметрам:
\[P = 52 \, \text{см}\]

Найдем высоту параллелограмма. Площадь параллелограмма можно выразить через одну из его сторон \(a\) и проведенную к ней высоту \(h\) следующим образом:
\[S = a \cdot h\]

Подставляем известные значения и находим высоту:
\[108 = a \cdot h\]

Теперь найдем сторону, к которой проведена данная высота \(a\). По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны, поэтому \(a = b\).

Также, по свойству периметра параллелограмма, сумма длин двух соседних сторон равна половине периметра:
\[a + b = \frac{P}{2}\]

Подставляем известное значение периметра и получаем:
\[a + b = \frac{52}{2} = 26\]

Таким образом, мы получили систему уравнений:
\[\begin{cases}108 = a \cdot h \\ a + b = 26 \end{cases}\]

Решим данную систему методом подстановки.

Исходя из уравнения \(a \cdot h = 108\), представим это выражение в виде \(h = \frac{108}{a}\). Подставим данное выражение во второе уравнение:
\[a + b = 26 \Rightarrow a + \frac{108}{a} = 26\]

Умножим обе части уравнения на \(a\):
\[a^2 + 108 = 26a\]

Приведем уравнение к квадратному виду:
\[a^2 - 26a + 108 = 0\]

Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 676 - 432 = 244\]

Уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:
\[a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Вычисляем корни:
\[a_1 = \frac{-(-26)+\sqrt{244}}{2 \cdot 1}, \quad a_2 = \frac{-(-26)-\sqrt{244}}{2 \cdot 1}\]

\[a_1 = \frac{26+\sqrt{244}}{2}, \quad a_2 = \frac{26-\sqrt{244}}{2}\]

\[a_1 = 18, \quad a_2 = 8\]

Найденные значения сторон \(a_1\) и \(a_2\) соответствуют длинам сторон параллелограмма, поэтому \(a = 18\) сантиметров и \(b=8\) сантиметров.

Таким образом, ответ на задачу:
- Высота, проведенная к одной из сторон параллелограмма, равна 18 сантиметрам.
- Сторона, к которой проведена данная высота, также равна 18 сантиметрам.
- Вторая сторона параллелограмма равна 8 сантиметрам.