Какова высота предмета h, если линза, находящаяся между предметом и экраном, может перемещаться вдоль главной

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой тонкой линзы \(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_о} - \frac{1}{d_e}\), где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(d_о\) - расстояние от предмета до линзы, \(d_e\) - расстояние от линзы до экрана.

Также, используем формулу линейного увеличения между предметом и его изображением \(\frac{h_1}{h} = -\frac{d_e}{d_о}\), где \(h_1\) - высота изображения предмета, \(h\) - искомая высота предмета.

Согласно условию, имеем два четких изображения. Приравняем выражения для линейного увеличения для обоих изображений:
\(\frac{h_1}{h_2} = -\frac{d_e}{d_о}\).

Также, зная, что расстояние между предметом и экраном не меняется (\(d_о + d_e = const\)), можем выразить \(d_e\) через \(d_о\):
\(d_e = const - d_о\).

Подставим это значение в уравнение для линейного увеличения:
\(\frac{h_1}{h_2} = -\frac{const - d_о}{d_о}\).

Решим это уравнение относительно \(d_о\):
\(\frac{h_1}{h_2} = -\frac{const}{d_о} + 1\).

Теперь найдем высоту предмета \(h\). Для этого рассмотрим выражение для линейного увеличения:
\(\frac{h_1}{h} = -\frac{d_e}{d_о}\).

Подставим значение \(d_e = const - d_о\):
\(\frac{h_1}{h} = -\frac{const - d_о}{d_о}\).

Выразим \(h\):
\(h = \frac{h_1}{-\frac{const - d_о}{d_о}} = -\frac{h_1 \cdot d_о}{const - d_о}\).

Используем значения \(h_1 = 10 \ \text{мм}\) и \(h_2 = 90 \ \text{мм}\) из условия задачи.

Подставим эти значения в уравнение \(\frac{h_1}{h_2} = -\frac{const}{d_о} + 1\):
\(\frac{10 \ \text{мм}}{90 \ \text{мм}} = -\frac{const}{d_о} + 1\).

Решим это уравнение относительно \(const\):
\(\frac{1}{9} = -\frac{const}{d_о} + 1\).

Теперь подставим значение \(const\) в выражение для \(h\):
\(h = -\frac{10 \ \text{мм} \cdot d_о}{const - d_о}\).

Подставляем значение \(const\) и решим это выражение для \(h\):

\[h = -\frac{10 \ \text{мм} \cdot d_о}{- \frac{d_о}{9} - d_о} = -\frac{10 \ \text{мм}}{-\frac{1}{9} - 1} \approx 8.57 \ \text{мм}.\]

Таким образом, высота предмета \(h\) составляет около 8.57 мм.