Какова высота правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 42 дм и боковое ребро образует угол

Чтобы найти высоту правильной треугольной пирамиды, нам потребуется использовать теорему Пифагора и основы тригонометрии.

По условию задачи, сторона основания пирамиды равна 42 дм. Обозначим сторону основания как \(a\) и боковое ребро как \(c\). В этом случае, \(a = 42\) дм.

Также известно, что боковое ребро образует угол 30° с плоскостью основания. Обозначим этот угол как \(\alpha\).

Для начала, мы можем найти длину высоты пирамиды, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, стороной основания и половиной бокового ребра, у нас есть соотношение:

\[h^2 = c^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

Подставляя известные значения, получаем:

\[h^2 = c^2 - \left(\frac{42}{2}\right)^2 \]

Теперь нам нужно найти длину бокового ребра \(c\). Для этого воспользуемся тригонометрией. Так как боковое ребро образует угол 30° с плоскостью основания, то значение синуса угла равно отношению противолежащего катета (высоты) к гипотенузе (боковому ребру):

\(\sin(\alpha) = \frac{h}{c} \)

Разделив обе части уравнения на \(\sin(\alpha)\), получаем:

\[ c = \frac{h}{\sin(\alpha)} \]

Теперь мы можем подставить это значение \(c\) в уравнение для высоты пирамиды:

\[ h^2 = \left(\frac{h}{\sin(\alpha)}\right)^2 - \left(\frac{42}{2}\right)^2 \]

Раскроем скобки и приведем подобные:

\[ h^2 = \frac{h^2}{\sin^2(\alpha)} - 21^2 \]

Умножим обе части уравнения на \(\sin^2(\alpha)\) и приведем подобные:

\[ h^2 \cdot \left(1 - \sin^2(\alpha)\right) = 441 \cdot \sin^2(\alpha) \]

С помощью тригонометрического соотношения \(\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)\), преобразуем уравнение:

\[ h^2 \cdot \cos^2(\alpha) = 441 \cdot \sin^2(\alpha) \]

Используя соотношение \(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}\), так как \(\alpha = 30°\), и тригонометрическое соотношение \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)\), можем переписать уравнение:

\[ h^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 441 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \]

Упростим выражения:

\[ \frac{3}{4} \cdot h^2 = \frac{441}{4} \]

Домножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\) и найдем значение \(h^2\):

\[ h^2 = 441 \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[ h = \sqrt{441} \]

Вычисляя корень, получаем:

\[ h = 21 \]

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна 21 дм.