Какова высота правильной четырехугольной призмы с площадью основания 24 м² и диагональю 13 м? Включите рисунок

Для начала, давайте рассмотрим, что такое правильная четырехугольная призма. Правильная четырехугольная призма - это геометрическое тело, у которого основаниями являются равносторонние четырехугольники, а боковые грани - прямоугольники.

Чтобы найти высоту призмы, нам необходимо знать площадь основания и длину диагонали. У нас уже есть площадь основания - 24 м², а также длина диагонали - 13 м. Давайте начнем с рисунка для лучшего понимания задачи.


Из рисунка видно, что диагональ основания является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами основания. Давайте обозначим сторону основания через \(a\).

Таким образом, по теореме Пифагора, имеем:
\[
a^2 + a^2 = 13^2
\]
\[
2a^2 = 13^2
\]
\[
a^2 = \frac{{13^2}}{{2}}
\]
\[
a^2 = \frac{{169}}{{2}}
\]
\[
a = \sqrt{\frac{{169}}{{2}}}
\]
\[
a = \frac{{13\sqrt{2}}}{{2}}
\]

Теперь, чтобы найти высоту призмы, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю и высотой призмы.

Снова, по теореме Пифагора, имеем:
\[
h^2 + a^2 = 13^2
\]
\[
h^2 + \left(\frac{{13\sqrt{2}}}{{2}}\right)^2 = 13^2
\]
\[
h^2 + \frac{{169}}{{2}} = 169
\]
\[
h^2 = 169 - \frac{{169}}{{2}}
\]
\[
h^2 = 169 - \frac{{169}}{{2}}
\]
\[
h^2 = \frac{{338 - 169}}{{2}}
\]
\[
h^2 = \frac{{169}}{{2}}
\]
\[
h = \sqrt{\frac{{169}}{{2}}}
\]
\[
h = \frac{{13\sqrt{2}}}{{2}}
\]

Итак, высота правильной четырехугольной призмы с площадью основания 24 м² и диагональю 13 м равна \(\frac{{13\sqrt{2}}}{{2}}\) м.