Какова высота правильного тетраэдра со стороной 10 см? У нас есть правильный тетраэдр ABCD, где AB = 10

Для начала, давайте разберемся, что такое правильный тетраэдр. Правильный тетраэдр - это многогранник, состоящий из четырех треугольных граней, причем все эти грани являются равнобедренными и равносторонними треугольниками.

В данной задаче у нас есть правильный тетраэдр ABCD, и нам нужно найти его высоту, если сторона AB равна 10 см.

Шаг 1: Медиана AF в треугольнике ABC
Медиана в треугольнике - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае, медиана AF будет соединять вершину A с серединой стороны BC.

Так как ABC - равносторонний треугольник, то медиана AF будет одновременно и высотой, и медианой. Значит, отрезок BF будет равен половине стороны AB:

\[BF = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\] см.

Шаг 2: Найдем значение AF в треугольнике ABF с помощью теоремы Пифагора.
Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем случае, треугольник ABF - прямоугольный, где AB - гипотенуза, а AF и BF - катеты.

\[AF^2 = AB^2 - BF^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75\]

Взяв квадратный корень от обеих сторон, получим:

\[AF = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\] см.

Шаг 3: Отношение дилетанта О до отрезка AF равно 2:1
Это означает, что длина отрезка AO в два раза больше, чем длина отрезка OF.

\[AO = 2 \cdot OF = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\] см.

Шаг 4: Найдем длину отрезка DO в треугольнике ADO с помощью теоремы Пифагора.
Треугольник ADO также является прямоугольным, и мы знаем длины катетов AO и AD.

\[DO^2 = AO^2 - AD^2 = (10\sqrt{3})^2 - 10^2 = 300 - 100 = 200\]

Взяв квадратный корень от обеих сторон, получим:

\[DO = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\] см.

Итак, высота правильного тетраэдра со стороной 10 см равна длине отрезка DO, которая равна \(10\sqrt{2}\) см.