Какова высота, на которой ускорение камня станет равным 0.1g, если камень падает с высоты h₀ = 3000 м и его скорость

Для решения этой задачи мы можем использовать законы движения и соотношение между ускорением и скоростью.

Первоначально, известно, что скорость камня меняется по закону \(v = g\sqrt{\alpha t}\), где \(\alpha = 1\) c и \(g = 9.81\) м/c являются постоянными.

Мы также знаем, что ускорение - это производная скорости по времени \(a = \frac{{dv}}{{dt}}\). Мы можем найти это, взяв производную по времени от уравнения \(v = g\sqrt{\alpha t}\):

\[\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}\left(g\sqrt{\alpha t}\right)\]

Дифференцируя это уравнение, получаем:

\[\frac{{dv}}{{dt}} = g\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\alpha}{t}}\right)\]

Теперь подставим это выражение в уравнение для ускорения \(a = \frac{{dv}}{{dt}}\):

\[a = g\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\alpha}{t}}\right)\]

Мы хотим найти высоту \(h\), на которой ускорение становится равным \(0.1g\). Поэтому мы можем решить это уравнение относительно \(t\):

\[0.1g = g\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\alpha}{t}}\right)\]

Сократим \(g\) с обеих сторон:

\[0.1 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\alpha}{t}}\]

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[0.01 = \frac{\alpha}{4t}\]

Умножим обе стороны на \(4t\):

\[0.01 \cdot 4t = \alpha\]

\[\frac{0.04t}{\alpha} = 1\]

Теперь найдем время \(t\), используя данное уравнение:

\[t = \frac{\alpha}{0.04} = \frac{1}{0.04} = 25\] с

Теперь, поскольку мы знаем время \(t\), мы можем найти высоту \(h\), используя исходное уравнение для скорости:

\[v = g\sqrt{\alpha t}\]

\[v = 9.81\cdot\sqrt{1\cdot25} = 9.81\cdot5 = 49.05\] м/c

Теперь, чтобы найти высоту \(h\), мы можем использовать уравнение для связи высоты и скорости:

\[v^2 = v_0^2 + 2gh\]

Подставим значения \(v = 49.05\) м/c и \(v_0 = 0\) м/c (начальная скорость равна нулю, так как камень падает с высоты) и \(g = 9.81\) м/c\(^2\):

\[(49.05)^2 = 0^2 + 2\cdot9.81\cdot h\]

Упростим это уравнение:

\[2402.6025 = 19.62h\]

Найдем высоту \(h\):

\[h = \frac{2402.6025}{19.62} = 122.61\] м

Таким образом, на высоте \(h = 122.61\) м ускорение камня станет равным \(0.1g\).