Какова высота, на которой гравитационная сила, действующая на тело, будет составлять только 6,5% от силы на поверхности

Для решения этой задачи, нам понадобится понять, как гравитационная сила зависит от расстояния от центра Земли. Гравитационная сила между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для гравитационной силы записывается следующим образом:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где F - гравитационная сила, G - гравитационная постоянная (приближенно равна \(6.67 \times 10^{-11}\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы объектов, а \(r\) - расстояние между ними.

В нашей задаче мы хотим найти высоту, на которой гравитационная сила составляет только 6,5% от силы на поверхности Земли. Пусть \(F_h\) будет гравитационной силой на этой высоте, а \(F_s\) - силой на поверхности Земли.

Мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{{F_h}}{{F_s}} = 0.065\]

Так как мы знаем, что гравитационная сила \(F_s\) на поверхности Земли определяется радиусом Земли \(R\) и массой тела \(m\):

\[F_s = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{R^2}}\]

где \(M\) - масса Земли.

Подставим выражение для \(F_s\) в наше соотношение:

\[\frac{{\frac{{G \cdot M \cdot m_h}}{{h^2}}}}{{\frac{{G \cdot M \cdot m_s}}{{R^2}}}} = 0.065\]

Здесь \(m_h\) обозначает массу тела на высоте \(h\), а \(m_s\) - массу тела на поверхности Земли.

Теперь мы можем упростить это соотношение, сократив общие множители:

\[\frac{{m_h}}{{m_s}} \cdot \frac{{R^2}}{{h^2}} = 0.065\]

Так как оба тела находятся на одной высоте, их массы остаются неизменными, поэтому:

\[\frac{{R^2}}{{h^2}} = 0.065\]

Чтобы найти \(h\), возьмем квадратный корень от обеих частей:

\[\frac{{R}}{{h}} = \sqrt{{0.065}}\]

Теперь разделим обе части на корень из 0,065:

\[h = \frac{{R}}{{\sqrt{{0.065}}}}\]

Подставим данное значение радиуса Земли \(R = 6 370\) km в эту формулу и выполним вычисления:

\[h = \frac{{6 370}}{{\sqrt{{0.065}}}} \approx 20 416 \, \text{km}\]

Таким образом, высота, на которой гравитационная сила составляет только 6,5% от силы на поверхности Земли, составляет примерно 20 416 километров.