Какова высота цилиндра, если радиус его основания составляет 6 см, а диагональ его осевого сечения образует угол

Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрические свойства цилиндра и тригонометрические соотношения.

1. Первым шагом определим высоту цилиндра, обозначим ее буквой \(h\).

2. Из условия задачи мы знаем, что радиус основания цилиндра составляет 6 см, следовательно, радиус основания можно обозначить как \(r = 6 \, \text{см}\).

3. Также задано, что диагональ осевого сечения цилиндра образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Обозначим эту диагональ через \(d\).

4. Далее, найдем длину \(d\), используя теорему косинусов для треугольника с углом 60 градусов:

\[
d = \sqrt{r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(60^\circ)} = \sqrt{2r^2 - 2r^2 \cdot \cos(60^\circ)}
\]

5. Найденную длину \(d\) мы можем связать с высотой цилиндра \(h\) и радиусом основания \(r\) через равенство прямоугольного треугольника. Диагональ \(d\) является гипотенузой, а высота \(h\) — одним из катетов, поэтому мы можем записать следующее соотношение:

\[
h = \sqrt{d^2 - r^2}
\]

6. Подставляем найденное значение \(d\) и \(r\) в формулу для высоты \(h\):

\[
h = \sqrt{(2r^2 - 2r^2 \cdot \cos(60^\circ))^2 - r^2}
\]

7. Теперь можем вычислить высоту цилиндра \(h\). Подставляем значение \(r = 6 \, \text{см}\) и вычисляем:

\[
h = \sqrt{(2 \cdot 6^2 - 2 \cdot 6^2 \cdot \cos(60^\circ))^2 - 6^2} \approx 11.76 \, \text{см}
\]

Таким образом, высота цилиндра составляет примерно 11.76 см (округленное значение).