Какова вероятность взять три карточки с номерами 12, 24 и 30 из набора из 30 пронумерованных карточек?

Хорошо! Давайте пошагово решим эту задачу.

1. Сначала нам нужно определить общее количество возможных вариантов выбора трех карточек из набора из 30 пронумерованных карточек. Для этого мы можем использовать комбинаторику и формулу для вычисления количества сочетаний. Формула для количества сочетаний без учета порядка выглядит следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Где n - общее количество элементов в наборе, а k - количество элементов, которые мы выбираем. В нашей задаче n = 30 и k = 3, поэтому нам нужно вычислить значение \(C(30, 3)\).

2. Вычислим значение \(C(30, 3)\):

\[C(30, 3) = \frac{{30!}}{{3!(30-3)!}} = \frac{{30!}}{{3! \cdot 27!}}\]

Для расчетов больших факториалов можно воспользоваться калькулятором, таблицей факториалов или программой. В результате получаем:

\[C(30, 3) = \frac{{30!}}{{3! \cdot 27!}} = \frac{{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27!}}{{3! \cdot 27!}} = \frac{{30 \cdot 29 \cdot 28}}{{3!}} = 4060\]

Таким образом, общее количество возможных вариантов выбора трех карточек из набора из 30 составляет 4060.

3. Теперь мы должны определить, сколько из этих вариантов соответствуют выбору карточек с номерами 12, 24 и 30. В данном случае, чтобы выбрать такую комбинацию, нам нужно учесть, что порядок выбора не важен, то есть карточки с номерами 12, 24 и 30 могут быть выбраны в любом порядке.

Найдем количество вариантов выбора трех карточек из набора из 3 карточек:

\[C(3, 3) = 1\]

Это значение означает, что есть только один способ выбрать три карточки из набора из 3 карточек.

4. Так как порядок выбора не важен, мы должны учесть все возможные перестановки выбранных карточек. В нашем случае у нас есть 3 карточки, которые могут находиться на трех разных позициях (позиция 1, позиция 2 и позиция 3). Количество всевозможных перестановок трех объектов равно 3!.

\[3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\]

Таким образом, для каждой комбинации трех карточек с номерами 12, 24 и 30 существует 6 возможных перестановок.

5. Окончательно вычислим вероятность взять именно эти три карточки из набора из 30:

\[P = \frac{{\text{Количество вариантов выбора карточек с номерами 12, 24 и 30}}}{{\text{Общее количество возможных вариантов выбора трех карточек}}}}\]

\[P = \frac{{C(3, 3) \cdot 3!}}{{C(30, 3)}} = \frac{{1 \cdot 6}}{{4060}} = \frac{1}{676}\]

Получается, вероятность взять именно карточки с номерами 12, 24 и 30 из набора из 30 составляет \(\frac{1}{676}\).

Я надеюсь, что объяснение было понятным и подробным. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!