Какова вероятность выбрать только третьекурсников из общего количества студентов, состоящего из 3 первокурсников

Чтобы решить эту задачу, мы сначала должны определить общее количество возможных комбинаций выбора 5 человек из общего количества студентов. Для этого мы используем формулу комбинаторики, известную как числа сочетаний или биномиальные коэффициенты.

Чтобы выбрать 5 человек из общего числа студентов, мы можем использовать сочетания из 14 студентов (3 первокурсника, 5 второкурсников и 6 третьекурсников). Формула для числа сочетаний из n элементов по k составляет:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где n! обозначает факториал числа n, т.е. произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

Таким образом, число сочетаний из 14 студентов по 5 студентам равно:

\[\binom{14}{5} = \frac{14!}{5!(14-5)!}\]

Теперь нам нужно определить количество комбинаций, в которых мы выбираем только третьекурсников. Мы имеем 6 третьекурсников, и нам нужно выбрать 5 из них. Это может быть сделано с помощью формулы числа сочетаний:

\[\binom{6}{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!}\]

Теперь, чтобы найти вероятность выбора только третьекурсников из общего числа студентов, мы делим количество комбинаций выбора только третьекурсников на общее количество комбинаций выбора 5 студентов:

\[\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество комбинаций выбора только третьекурсников}}{\text{Общее количество комбинаций выбора 5 студентов}} = \frac{\binom{6}{5}}{\binom{14}{5}}\]

Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[\text{Вероятность} = \frac{\frac{6!}{5!(6-5)!}}{\frac{14!}{5!(14-5)!}}\]

Раскрывая факториалы, мы получаем:

\[\text{Вероятность} = \frac{\frac{6!}{5!1!}}{\frac{14!}{5!9!}}\]

Сокращая 5! в числителе и знаменателе, получаем:

\[\text{Вероятность} = \frac{6}{\frac{14!}{9!}}\]

Далее, мы можем упростить выражение, разделив 14! на 9!:

\[\text{Вероятность} = \frac{6}{\frac{14!}{9!}} = \frac{6}{\frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}\]

Вычисляя числитель и знаменатель отдельно, получаем:

\[\text{Вероятность} = \frac{6}{\frac{24024}{120}}\]

Делая деление, получаем окончательный ответ:

\[\text{Вероятность} = \frac{6}{200.2} \approx 0.02997\]

Таким образом, вероятность выбрать только третьекурсников из общего количества студентов при случайном выборе 5 человек для конференции примерно равна 0.02997, или около 3%.