Какова вероятность выбрать хотя бы одну девушку из трех студентов, отобранных случайным образом из группы, в которой

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо вычислить вероятность выбрать хотя бы одну девушку из трёх студентов, отобранных случайным образом из группы.

Для начала посчитаем общее количество возможных комбинаций выбора трёх студентов из группы, в которой учатся 9 юношей и 16 девушек. Для этого воспользуемся формулой сочетания:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где \(C_n^k\) - количество сочетаний из n элементов, выбранных k элементами.

В нашем случае, n = 25 (общее количество студентов в группе, то есть 9+16), k = 3 (количество студентов, которых мы выбираем).

Для определения количества сочетаний из 25 студентов, выбранных 3 студентами, мы можем использовать формулу:

\[C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!}\]

Вычислим это значение:

\[C_{25}^3 = \frac{25!}{3!22!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 2300\]

Теперь определим количество комбинаций, в которых нет ни одной девушки. Существует 9 юношей в группе, поэтому количество способов выбрать 3 юношей из них будет:

\[C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84\]

Таким образом, количество комбинаций, в которых нет ни одной девушки, равно 84.

Теперь можем вычислить количество комбинаций, в которых хотя бы одна девушка выбрана. Для этого вычтем количество комбинаций без девушек из общего количества комбинаций выбора трёх студентов:

Количество комбинаций с хотя бы одной девушкой = Общее количество комбинаций - Количество комбинаций без девушек

\[= 2300 - 84 = 2216\]

Таким образом, количество комбинаций с хотя бы одной девушкой равно 2216.

Наконец, чтобы вычислить вероятность выбрать хотя бы одну девушку, мы делим количество комбинаций с хотя бы одной девушкой на общее количество комбинаций:

\[P(\text{{хотя бы одна девушка}}) = \frac{\text{{количество комбинаций с хотя бы одной девушкой}}}{\text{{общее количество комбинаций}}} = \frac{2216}{2300} \approx 0.963\]

Таким образом, вероятность выбрать хотя бы одну девушку из трёх студентов, отобранных случайным образом из группы, равна примерно 0.963 или 96.3%.