Какова вероятность того, что умножение двух случайно выбранных правильных положительных дробей не превысит

Какова вероятность того, что умножение двух случайно выбранных правильных положительных дробей не превысит некоторого заданного значения \(x\)? Давайте рассмотрим эту задачу.

Пусть \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) - две случайно выбранные правильные положительные дроби, где \(a, b, c, d\) - натуральные числа, причем \(a\) и \(b\) взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1) и \(c\) и \(d\) тоже взаимно просты.

Мы можем считать, что числитель и знаменатель каждой дроби выбираются из множества натуральных чисел от 1 до \(n\) без повторений. Поэтому в общем случае у нас есть \(n^2\) возможных комбинаций для выбора дробей.

Теперь, чтобы умножение двух дробей не превысило значение \(x\), мы можем записать неравенство:

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \leq x\]

Упростим это неравенство, умножив оба выражения на \(bd\):

\[ac \leq bdx\]

То есть, нам нужно найти количество комбинаций \((a, b, c, d)\), где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) - натуральные числа от 1 до \(n\) без повторений, для которых выполняется условие \(ac \leq bdx\).

Теперь рассмотрим каждый вариант для \(a\) и \(b\).

Для \(a = 1\) и \(b = 1\) неравенство всегда будет выполняться, поскольку \(c\) и \(d\) тоже положительные числа и \(x\) - положительное число.

Для \(a = 2\) и \(b = 1\) неравенство будет выполняться, если \(cd \leq 2dx\), то есть \(c \leq 2x\).

Аналогично, для \(a = 3\) и \(b = 1\) неравенство будет выполняться, если \(c \leq 3x\).

Мы можем продолжить этот процесс для всех возможных значений \(a\) и \(b\). В общем случае, для \(a = m\) и \(b = 1\) неравенство будет выполняться, если \(c \leq mx\).

Теперь, мы можем посчитать количество комбинаций \((a, b, c, d)\), удовлетворяющих этим условиям. Для каждого значения \(a\) от 1 до \(n\), у нас есть \(a - 1\) возможных значений для \(b\) (мы исключаем \(b = 1\) в каждом случае). Таким образом, для каждой пары \((a, b)\) у нас есть \((a - 1)\) возможных комбинаций \((c, d)\), удовлетворяющих неравенству \(ac \leq bdx\).

Общее количество комбинаций \((c, d)\) равно \((n-1)^2\), так как \(c\) и \(d\) могут принимать значения от 2 до \(n\) включительно.

Теперь мы можем подсчитать количество комбинаций \((a, b, c, d)\), для которых выполняется условие \(ac \leq bdx\). Это будет равно сумме количества комбинаций для каждой пары \((a, b)\).

Таким образом, вероятность того, что умножение двух случайно выбранных правильных положительных дробей не превысит значение \(x\), будет равна:

\[\frac{{\text{{количество комбинаций }} (a, b, c, d) \text{{ для }} ac \leq bdx}}{{\text{{общее количество комбинаций }} (a, b, c, d)}} = \frac{{\sum_{a=1}^{n} (a-1)}}{{(n-1)^2}}\]

Определив значение \(n\), мы можем использовать эту формулу для конкретного случая.