Какова вероятность того, что ученику понадобится не более 4 попыток, чтобы верно назвать последнюю цифру даты

Чтобы решить эту задачу, нужно знать, что дата Куликовской битвы - 8 сентября 1380 года. Поскольку ученик называет последнюю цифру наугад, вероятность угадать ее составляет 1 из 10 возможных цифр (от 0 до 9).

Необходимо вычислить вероятность не получить правильный ответ, используя биномиальное распределение, поскольку ученик имеет не более 4 попыток до получения правильного ответа.

Вероятность не получить правильный ответ при каждой попытке равна \(p = \frac{{9}}{{10}}\), поскольку ученик должен угадать одну из 9 неправильных цифр. Вероятность получить правильный ответ равна \(q = \frac{{1}}{{10}}\), поскольку ученик должен угадать 1 правильную цифру.

Теперь, используя биномиальное распределение, мы можем вычислить вероятность того, что ученику понадобится не более 4 попыток. Это будет сумма вероятностей для 1, 2, 3 и 4 попыток.

\(P(\text{{не более 4 попыток}}) = P(k = 1) + P(k = 2) + P(k = 3) + P(k = 4)\),

где \(P(k)\) - вероятность того, что понадобится ровно \(k\) попыток.

Теперь давайте вычислим каждое из этих значений.

\(P(k = 1) = q = \frac{{1}}{{10}}\),

вероятность получить правильный ответ с первой попытки.

\(P(k = 2) = pq = \frac{{1}}{{10}} \cdot \frac{{9}}{{10}} = \frac{{9}}{{100}}\),

вероятность получить правильный ответ со второй попытки и неправильный с первой.

\(P(k = 3) = pq^2 = \frac{{1}}{{10}} \cdot \left(\frac{{9}}{{10}}\right)^2 = \frac{{81}}{{1000}}\),

вероятность получить правильный ответ с третьей попытки и неправильный с первой и второй.

\(P(k = 4) = pq^3 = \frac{{1}}{{10}} \cdot \left(\frac{{9}}{{10}}\right)^3 = \frac{{729}}{{10000}}\),

вероятность получить правильный ответ с четвертой попытки и неправильный с первой, второй и третьей.

Теперь мы можем сложить все эти вероятности, чтобы получить окончательный ответ.

\(P(\text{{не более 4 попыток}}) = \frac{{1}}{{10}} + \frac{{9}}{{100}} + \frac{{81}}{{1000}} + \frac{{729}}{{10000}}\).

Окончательный ответ составляет \(P(\text{{не более 4 попыток}})\).