Какова вероятность того, что у не менее чем трех из десяти машин, которые вышли на линию, произойдет перерасход

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение и формулу Бернулли.

По формуле Бернулли, вероятность \(P(k)\) того, что произойдет перерасход горючего у \(k\) машин из десяти, задается следующим выражением:

\[P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

где \(C(n, k)\) - это число сочетаний из \(n\) по \(k\), \(p\) - вероятность перерасхода горючего у одной машины, \(q=1-p\) - вероятность того, что перерасхода горючего у одной машины не произойдет.

В нашем случае, мы ищем вероятность перерасхода горючего у не менее чем трех машин, то есть мы должны учесть вероятности для 3, 4, 5, ..., 10 машин.

Давайте посчитаем вероятность перерасхода горючего для каждого значения \(k\) от 3 до 10 и сложим их:

\[P = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10)\]

Теперь посчитаем каждую вероятность \(P(k)\) в формуле Бернулли:

\[P(3) = C(10, 3) \cdot 0.2^3 \cdot 0.8^7\]
\[P(4) = C(10, 4) \cdot 0.2^4 \cdot 0.8^6\]
\[P(5) = C(10, 5) \cdot 0.2^5 \cdot 0.8^5\]
\[P(6) = C(10, 6) \cdot 0.2^6 \cdot 0.8^4\]
\[P(7) = C(10, 7) \cdot 0.2^7 \cdot 0.8^3\]
\[P(8) = C(10, 8) \cdot 0.2^8 \cdot 0.8^2\]
\[P(9) = C(10, 9) \cdot 0.2^9 \cdot 0.8^1\]
\[P(10) = C(10, 10) \cdot 0.2^{10} \cdot 0.8^0\]

Теперь рассчитаем каждое значение:

\[P(3) = 120 \cdot 0.008 \cdot 0.2097152 = 0.201326592\]
\[P(4) = 210 \cdot 0.0016 \cdot 0.262144 = 0.0915664\]
\[P(5) = 252 \cdot 0.00032 \cdot 0.32768 = 0.01953125\]
\[P(6) = 210 \cdot 0.000064 \cdot 0.4096 = 0.003814697265625\]
\[P(7) = 120 \cdot 0.0000128 \cdot 0.512 = 0.00073726\]
\[P(8) = 45 \cdot 0.00000256 \cdot 0.64 = 0.000073741824\]
\[P(9) = 10 \cdot 0.000000512 \cdot 0.8 = 0.000004096\]
\[P(10) = 1 \cdot 0.0000001024 \cdot 1 = 0.0000001024\]

Теперь найдем сумму всех вероятностей:

\[P = 0.201326592 + 0.0915664 + 0.01953125 + 0.003814697265625 + 0.00073726 + 0.000073741824 + 0.000004096 + 0.0000001024 = 0.316452299\]

Таким образом, вероятность того, что у не менее чем трех из десяти машин произойдет перерасход горючего, составляет примерно \(0.316\) или \(31.6\%\).