Какова вероятность того, что среди трех извлеченных изделий будет хотя бы одно окрашенное, если в коробке находится

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и вероятность.

Первым шагом определим общее количество возможных вариантов извлечения трех изделий из коробки. Общее количество вариантов можно найти с помощью формулы сочетаний. В данном случае нужно выбрать 3 из 8 изделий:

\[C(8, 3) = \frac{{8!}}{{3!(8-3)!}} = \frac{{8!}}{{3!5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 56.\]

Теперь нам нужно посчитать количество благоприятных исходов, то есть число вариантов, при которых хотя бы одно изделие из трех окрашено.

Найдем количество вариантов, когда все три изделия окрашены. В коробке находится 5 окрашенных изделий, поэтому возможными способами выбора 3 окрашенных изделий будет:

\[C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3!2!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10.\]

Теперь посчитаем количество вариантов, когда только два изделия (из трех) окрашены. В коробке есть 5 окрашенных изделий и 3 без окраски. Тогда число вариантов будет равно:

\[(C(5, 2) \cdot C(3, 1)) = (\frac{{5!}}{{2!(5-2)!}} \cdot \frac{{3!}}{{1!(3-1)!}}) = (\frac{{5!}}{{2!3!}} \cdot \frac{{3!}}{{1!2!}}) = (\frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} \cdot \frac{{3 \cdot 2}}{{1 \cdot 1}}) = 30.\]

Также нам нужно посчитать количество вариантов, когда только одно изделие (из трех) окрашено. В коробке есть 5 окрашенных изделий и 3 без окраски. Тогда число вариантов будет равно:

\[(C(5, 1) \cdot C(3, 2)) = (\frac{{5!}}{{1!(5-1)!}} \cdot \frac{{3!}}{{2!(3-2)!}}) = (\frac{{5!}}{{1!4!}} \cdot \frac{{3!}}{{2!1!}}) = (\frac{{5 \cdot 4 \cdot 3}}{{1 \cdot 1}} \cdot \frac{{3}}{{2}}) = 30.\]

Теперь мы можем посчитать общее количество благоприятных исходов:

Таким образом, общее число благоприятных исходов равно 70.

Наконец, можем вычислить вероятность того, что среди трех извлеченных изделий будет хотя бы одно окрашенное:

\[\frac{{\text{{Число благоприятных исходов}}}}{{\text{{Общее число возможных исходов}}}} = \frac{{70}}{{56}} \approx 1.25.\]

Ответ: Вероятность того, что среди трех извлеченных изделий будет хотя бы одно окрашенное, составляет примерно 1.25 или можно округлить до 1.25%.