Какова вероятность того, что среди пяти грибов, которые бабушка наудачу извлекает из корзины, есть: a) три мухомора?

Для решения данной задачи о вероятности нам потребуется применить комбинаторику. Давайте рассмотрим каждую ситуацию по отдельности и найдем вероятность для каждого случая.

a) Для того чтобы получить вероятность того, что среди пяти извлеченных грибов три мухомора, нам необходимо вычислить отношение числа благоприятных исходов (т.е. трех мухоморов) к общему числу исходов (все возможные комбинации из пяти грибов).

Чтобы найти число благоприятных исходов, мы можем использовать формулу сочетания. Формула сочетания для нахождения числа комбинаций из n элементов по k элементов определяется следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

Где n! обозначает факториал числа n (произведение всех целых чисел от 1 до n).

В нашем случае, число благоприятных исходов будет равно числу сочетаний из пяти грибов по трем мухоморам, то есть:

\[
C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3!2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3!2 \cdot 1}} = 10
\]

Общее число исходов в данной задаче состоит из всех возможных комбинаций из пяти грибов, что равно:

\[
C(5, 5) = \frac{{5!}}{{5!(5-5)!}} = \frac{{5!}}{{5!0!}} = \frac{{5!}}{{5!}} = 1 \quad (так как 0! = 1)
\]

Теперь мы можем вычислить вероятность:

\[
P(\text{{три мухомора}}) = \frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее число исходов}}}} = \frac{{10}}{{1}} = 10
\]

Таким образом, вероятность того, что среди пяти грибов, бабушка извлекает три мухомора, составляет 10.

b) Для расчета вероятности того, что среди пяти грибов два груздя и два белых гриба, мы также применим формулу сочетания.

Число благоприятных исходов будет равно числу сочетаний из пяти грибов по двум груздям и двум белым грибам:

\[
C(5, 2) \cdot C(3, 2) = \frac{{5!}}{{2!(5-2)!}} \cdot \frac{{3!}}{{2!(3-2)!}} = \frac{{5!}}{{2!3!}} \cdot \frac{{3!}}{{2!1!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2!3!}} \cdot \frac{{3!}}{{2 \cdot 1}} = 10 \cdot 3 = 30
\]

Общее число исходов также равно количеству всех возможных комбинаций из пяти грибов:

\[
C(5, 5) = \frac{{5!}}{{5!(5-5)!}} = \frac{{5!}}{{5!0!}} = \frac{{5!}}{{5!}} = 1
\]

Теперь мы можем вычислить вероятность:

\[
P(\text{{два груздя и два белых гриба}}) = \frac{{\text{{число благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее число исходов}}}} = \frac{{30}}{{1}} = 30
\]

Таким образом, вероятность того, что среди пяти грибов, бабушка извлекает два груздя и два белых гриба, составляет 30.