Какова вероятность того, что среди половины автомобилей, выезжающих для перевозки грузов, будет 5 легковых автомобилей

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать, что вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов. В данном случае нас интересует вероятность того, что среди половины автомобилей в автоколонне будет 5 легковых автомобилей.

Для начала найдем число благоприятных исходов, то есть количество способов, которыми можно выбрать 5 легковых автомобилей из 10 имеющихся. Для этого воспользуемся формулой сочетаний. Формула сочетаний имеет вид: \({n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

В данном случае у нас n = 10 (общее количество легковых автомобилей) и k = 5 (количество легковых автомобилей, которые мы хотим выбрать). Подставляя значения в формулу, получаем:

\({10 \choose 5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!}\)

Рассчитываем факториалы:
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Теперь представим это в формуле \({n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\):

\({10 \choose 5} = \frac{10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!}{5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 5!}\)

Замечаем, что 5! убирается из числителя и знаменателя. Теперь можно просто вычислить числитель:

\({10 \choose 5} = \frac{10 * 9 * 8 * 7 * 6}{5 * 4 * 3 * 2 * 1}\)

В результате получаем число благоприятных исходов, равное 252.

Теперь найдем число всех возможных исходов, то есть количество способов выбрать половину автомобилей из всех 40 автомобилей. Для этого также воспользуемся формулой сочетаний:

\({40 \choose 20} = \frac{40!}{20!(40-20)!}\)

Рассчитаем факториалы:
40! = 40 * 39 * ... * 21 * 20!
20! = 20 * 19 * ... * 2 * 1

Подставляем значения в формулу:

\({40 \choose 20} = \frac{40 * 39 * ... * 21 * 20!}{20 * 19 * ... * 2 * 1 * 20!}\)

В результате получим число всех возможных исходов, равное 137846528820.

Теперь, зная число благоприятных исходов (252) и число всех возможных исходов (137846528820), найдем вероятность события A:

\(P(A) = \frac{252}{137846528820}\)

Вот и получается ответ: вероятность того, что среди половины автомобилей будет ровно 5 легковых автомобилей, равна \(\frac{252}{137846528820}\).