Какова вероятность того, что случайно выбранная точка, зафиксированная в шаре, окажется внутри вписанной правильной

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Первым шагом будет понять, как определить вероятность того, что случайно выбранная точка окажется внутри вписанной правильной треугольной пирамиды в шаре.

Итак, у нас есть шар, а внутри него находится вписанная правильная треугольная пирамида. Мы хотим найти вероятность того, что случайно выбранная точка окажется внутри этой пирамиды.

Дано, что высота \(a\) этой пирамиды равна \(4R/\sqrt{6}\), где \(R\) - радиус шара.

Чтобы найти вероятность, нам понадобится соотношение между объемом пирамиды и объемом шара.

Объем шара можно выразить как \(\frac{4}{3} \pi R^3\), где \(\pi\) равно примерно 3.14.

Объем пирамиды мы можем найти, умножив площадь основания на высоту и разделив на 3. Основание пирамиды - это правильный треугольник со стороной \(a\).

Формула для площади правильного треугольника с длиной стороны \(a\) равна \(A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\).

Таким образом, объем пирамиды равен \(\frac{\sqrt{3}}{12}a^3\).

Теперь, чтобы найти вероятность, мы делим объем пирамиды на объем шара. Формула вероятности будет выглядеть так:

\[
P = \frac{\frac{\sqrt{3}}{12}a^3}{\frac{4}{3} \pi R^3}
\]

Подставим значение \(a\) из условия задачи (\(a = \frac{4R}{\sqrt{6}}\)) и упростим выражение:

\[
P = \frac{\frac{\sqrt{3}}{12}\left(\frac{4R}{\sqrt{6}}\right)^3}{\frac{4}{3} \pi R^3}
\]

Легко видеть, что многие части в числителе и знаменателе сокращаются.

\[
P = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \frac{64R^3}{\sqrt{6}} \cdot \frac{3}{4 \pi R^3}
\]

Упростим это дальше:

\[
P = \frac{\sqrt{3} \cdot 64}{12 \cdot \sqrt{6}} \cdot \frac{3}{4 \pi}
\]

\[
P = \frac{64 \sqrt{3}}{12 \sqrt{6}} \cdot \frac{3}{4 \pi}
\]

\[
P = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{3}{\pi}
\]

\[
P = \frac{8 \cdot \sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{6} \cdot \pi}
\]

Используем аппроксимацию \(\pi \approx 3.14\):

\[
P \approx \frac{8 \cdot \sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{6} \cdot 3.14}
\]

\[
P \approx \frac{72 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{6} \cdot 3.14}
\]

Наконец, упростим эту последнюю дробь:

\[
P \approx \frac{72 \cdot \sqrt{3}}{1.98}
\]

Теперь мы можем окончательно вычислить приближенный ответ:

\[
P \approx 36.36 \cdot \sqrt{3} \approx 62.97
\]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка окажется внутри вписанной правильной треугольной пирамиды, приближенно равна 62.97%.